2.3. Распределения случайных величин

Функция распределения случайной величины задает вероятность того, что случайная величина примет значение меньше, чем x, т.е. вероятность нахождения случайной величины в интервале [-¥ , x]. В общем виде функция распределения определяется как F(x,q), где q - вектор параметров. Для наиболее распространенных законов распределения непрерывных случайных величин q = (a,b,c), где a– параметр положения (сдвига), b – параметр масштаба (рассеяния), c – параметр формы.Если параметры a и b известны, то можно использовать нормированную форму представления случайной величины X_N = (x-a)/b.

Функция распределения F(x,q) обладает следующими свойствами:

1. 0 £ F(x,q) £1 ;

1. F(x₂,q) ³ F(x₁,q), если x₂ ³ x₁ ;

2. F(x,q) = 0, при x® -¥ ,F(x,q) = 1, при x® ¥

При известной функции плотности вероятности f (x,q):

Для непрерывной случайной величины функция плотности вероятности f(x,q) показывает вероятность получения величины x в интервале [x, x+dx], для дискретной случайной величины функция плотности вероятности показывает вероятность получения величины x, т.е. дискретному набору значений х₁,х₂,, … сопоставляются вероятности f (x₁,q), f (x₂,q), … .

Наиболее распространенные законы распределения непрерывных и дискретных случайных величин приведены в таблице 2.3.1. [1, 4, 5, 9].

Табл.2.3.1.

Вид распределения	Функция плотности вероятности f (x,q):
Непрерывные распределения
Нормальное
Вейбулла
Экспоненциальное
Равномерное
Дискретные распределения
Биномиальное
Пуассона

Нормальное распределение рассмотрено впервые А. Муавром в 1733г., а в 1809г. снова открыто независимо от А. Муавра К. Гауссом. Нормальное распределение (Муавра–Гаусса) занимает ведущее место в теории и практике , в частности, в технике, экономике, социологии, , медицине, биологии и пр. [1, 9]. При нормировании случайных величин функция нормального распределения представляется функцией Лапласа

.

Нормальное распределение симметрично относительно m и имеет следующие характеристики: математическое ожидание M(x)=m=a, дисперсию D(x) = s² =b², коэффициент асимметрии  ₁ = 0, коэффициент эксцесса ₂ = 3, приведенный коэффициент эксцесса  = 0.

Распределение Вейбулла довольно часто используется в теории надежности для описания вероятности безотказной работы, плотности вероятности отказов , времени наработки до отказа и др. и[9] для нормированных случайных величин (a=0, b=1) имеет математическое ожидание M(x) = Г(c+1), дисперсию D(x) = Г((c+2)/c) – Г²((c+1)/c) , где Г(×) – гамма-функция.

Экспоненциальное распределение хорошо описывает случайные величины, характеризующие длительность жизни (демография), интенсивность отказов (теория надежности) и др.[1, 5, 9] и для нормированных случайных величин имеет математическое ожидание M(x) = b, дисперсию D(x) = b².

Равномерное (прямоугольное) распределение находит применение при анализе времени ожидания "обслуживания" при точно периодическом, через каждые Т единиц времени, прибытии (включении) обслуживающего устройства и при случайном поступлении заявки на обслуживание в этом интервале времени [1]. Функция равномерного распределения определяется как

Математическое ожидание M(x)=(a+b)/2, дисперсия D(x) = (b-a)²/12.

Биномиальный закон показывает вероятность появления некоторого события х раз (т.е.дискретной случайной величины, принимающей значения 1,2, … ) при n независимых испытаниях, при условии, что р – вероятность появления этого события и q=1-p вероятность его непоявления. Математическое ожидание M(x) = np, дисперсия D(x) = npq.

Биномиальный закон можно использовать для описания числа дефектных изделий в партии, для оценки числа покупателей в магазине, которые сделали покупку и др.

Закон Пуассона является предельным случаем биномиального при возрастании числа испытаний n ® ¥ , когда q ® 0. Используется, если необходимо описать появление кауих-либо событий (например, возникновение отказов) на заданном интервале времени. Интервал времени связывается с параметром распределения l . Математическое ожидание M(x) = l, дисперсия D(x) = l.

Вид функций плотности вероятности для распределений приведенных в таблице 2.3.1, наглядно проиллюстрирован в модуле Probability calculator пакета STATISTICA