6.3 Двухфакторный дисперсионный анализ

Двухфакторный дисперсионный анализ применяется в случае, когда предполагается, что изменчивость наблюдаемых значений исследуемой случайной величины х обусловлена двумя факторами. Условно обозначим эти факторы А и В. Наблюдения x_ijk связываются со значениями факторов А_i и В_j,

индекс к- означает параллельные наблюдения. Различаются две разновидности двухфакторного дисперсионного анализа. Это дисперсионный анализ с пересекающимися факторами и дисперсионный анализ с группировкой.

Если классификация наблюдений по фактору В имеет один и тот же смысл для всех значений фактора А, то это классификация для двухфакторного анализа с пересекающимися факторами. Пример двухфакторной классификации с пересекающимися факторами - пусть изделия в процессе изготовления проходят через установки типа А (фактор А) и затем через установки типа В (фактор В), и изделия, прошедшее через определенную установку типа А попадают на все имеющиеся установки типа В.

Если наблюдения представлены таким образом, что значения, соответствующие классификации В сгруппированы к определенному значению классификации А, то это классификация двухфакторного анализа с группировкой. Пример двухфакторной классификации с группировкой - вся продукция разбивается на партии (классификация А), каждая партия состоит из пластин (классификация В) на каждой пластине производится ряд параллельных замеров.

Суммарный разброс Q значений исследуемой случайной величины обусловлен следующими причинами:

-фактором А;

-фактором В;

-взаимодействием АВ;

-неучтенными факторами.

Если для оценки суммарного разброса используется сумма квадратов отклонений, то

Q=Q_A+Q_B+Q_AB+Q_W; (6.3.1),

где: Q_A+Q_B+Q_AB+Q_W - суммы квадратов отклонений, обусловленных действием факторов А,В, взаимодействием АВ и неучтенными факторами W.

Оценка влияния на общий разброс факторов, которым соответствует классификация А,В,В(А),(А внутри В), взаимодействия АВ производится с помощью критерия Фишера. Формулы для расчета F- критерия приведены в таблицах 6.3.1, 6.3.2. Вычисление средних производится по следующим формулам:

(6.3.2),

где: x_ijk - к-ое параллельное наблюдение, которое принадлежит i-му уровню класса А и j-му уровню класса В, при к=1,n; i=1,n_A; j=1,n_B.

Полученные вычисленные значения F- критерия сравниваются с критическим значением F -распределения, взятых для числа степеней свободы, соответствующего среднему квадрату. Например, F^(A)=S²_A/S²_W соответствуют числа степеней свободы k₁=n_А-1, k₂=n_Аn_В(n-1).

Заключение о существенном влиянии на общую дисперсию исследуемого вида классификации делается для уровня значимости α , если FF_1,2 где: F_1,2 – процентная точка (критическое значение) распределения Фишера.

Таблица двухфакторного дисперсионного анализа при классификация с пересекающимися факторами.

Таблица 6.3.1

Источник дисперсии	Сумма квадратов	Число ст. cвободы	Средний квадрат	F-критерий
Классификация А		nA-1
Классификация В		nB-1
Взаимодействие		(nA-1)( nB-1)
Внутри групп		nA nB (n-1)
Полная сумма квадратов		nA nB n-1

Таблица двухфакторного дисперсионного анализа при классификация с группировкой.

Таблица 6.3.2

Источник дисперсии	Сумма квадратов	Число ст. cвободы	Средний квадрат	F-критерий
Классификация А		nA-1
Классификация В внутри А		nA(nB-1)
Внутри групп		nA nB (n-1)
Полная сумма квадратов		nA nB n-1

6.4. Компьютерные технологии дисперсионного анализа

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПАКЕТА АНАЛИЗА Microsoft Excel..

Инструменты дисперсионного анализа доступны через команду Анализ данных меню Сервис. Существует несколько видов дисперсионного анализа. Требуемый вариант выбирается с учетом числа факторов и имеющихся выборок из генеральной совокупности.

Однофакторный дисперсионный анализ. Однофакторный дисперсионный анализ используется для проверки гипотезы о сходстве средних значений двух или более выборок, принадлежащих одной и той же генеральной совокупности.

Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями.Представляет собой более сложный вариант дисперсионного анализа с несколькими выборками для каждой группы данных, называемый также дисперсионным анализом при классификация с группировкой.

Двухфакторный дисперсионный анализ без повторения.Представляет собой двухфакторный анализ дисперсии, не включающий более одной выборки на группу, называемый также дисперсионным анализом при классификация с пересекающимися факторами.

Пример 6.4.1. . Поставлена задача - оценить стабильность операции “вплавление” технологического процесса изготовления транзисторов средней мощности, контролируемой по параметру α_f - коэффициенту усиления по току на частоте f. Для исследования после “вплавления” взято 10 выборок по 30 блоков с транзисторной структурой. Результаты измерений параметра α_f на блоках, приведены в таблице 6.4.1.

Таблице 6.4.1.

№ измерен.	Номер выборки
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	0,82	0,79	0,80	0,80	0,79	0,83	0,84	0,81	0,84	0,79
2	0,82	0,79	0,78	0,79	0,77	0,82	0,82	0,76	0,83	0,82
3	0,81	0,81	0,80	0,78	0,81	0,85	0,86	0,81	0,84	0,80
4	0,83	0,84	0,79	0,75	0,75	0,85	0,86	0,79	0,83	0,76
5	0,76	0,82	0,76	0,82	0,77	0,82	0,83	0,83	0,80	0,80
6	0,76	0,78	0,83	0,78	0,76	0,84	0,86	0,84	0,84	0,80
7	0,82	0,84	0,80	0,83	0,73	0,76	0,86	0,77	0,84	0,81
8	0,78	0,80	0,81	0,79	0,72	0,83	0,86	0,81	0,83	0,80
9	0,82	0,83	0,81	0,76	0,71	0,82	0,86	0,80	0,83	0,76
10	0,83	0,79	0,80	0,80	0,79	0,80	0,86	0,80	0,83	0,82
11	0,80	0,81	0,82	0,73	0,80	0,79	0,82	0,79	0,82	0,80
12	0,79	0,85	0,82	0,79	0,75	0,81	0,85	0,81	0,84	0,80
13	0,79	0,77	0,79	0,81	0,76	0,86	0,83	0,78	0,83	0,79
14	0,80	0,83	0,83	0,80	0,77	0,85	0,85	0,82	0,82	0,82
15	0,80	0,83	0,81	0,77	0,76	0,83	0,87	0,83	0,82	0,79
16	0,79	0,82	0,79	0,79	0,79	0,81	0,85	0,80	0,86	0,79
17	0,79	0,80	0,79	0,79	0,72	0,81	0,88	0,79	0,85	0,78
18	0,81	0,83	0,79	0,79	0,80	0,84	0,80	0,82	0,84	0,82
19	0,79	0,78	0,79	0,77	0,75	0,77	0,83	0,80	0,81	0,78
20	0,82	0,79	0,81	0,81	0,78	0,82	0,83	0,77	0,86	0,79
21	0,82	0,85	0,82	0,78	0,82	0,84	0,83	0,79	0,86	0,82
22	0,78	0,80	0,82	0,78	0,78	0,82	0,81	0,83	0,85	0,81
23	0,80	0,82	0,79	0,79	0,76	0,82	0,87	0,81	0,83	0,79
24	0,78	0,80	0,78	0,81	0,74	0,81	0,87	0,78	0,86	0,82
25	0,80	0,80	0,80	0,78	0,77	0,79	0,82	0,78	0,82	0,80
26	0,79	0,81	0,78	0,77	0,80	0,80	0,83	0,83	0,85	0,80
27	0,81	0,83	0,82	0,75	0,75	0,83	0,81	0,81	0,83	0,83
28	0,79	0,81	0,77	0,80	0,78	0,81	0,84	0,77	0,83	0,79
29	0,78	0,80	0,83	0,75	0,79	0,83	0,80	0,81	0,85	0,82
30	0,77	0,84	0,80	0,78	0,79	0,78	0,86	0,81	0,80	0,76

Решение. Предлагается использовать метод однофакторного дисперсионного анализа.

Обозначим х параметр α_f , которым оценивают стабильность операции “вплавление”.

В результате предварительного статистического анализа установлено, что х – это нормально - распределенная случайная величина. Наблюдения за ходом технологического процесса осуществляется с помощью выборок, которые берутся через определенные постоянные промежутки времени. Стабильность техпроцесса может оцениваться величиной вклада в общий разброс значений х разброса, обусловленного неоднородностью выборочных средних. Гипотеза об однородности средних и проверяется методом однофакторного дисперсионного анализа.

Данные выборочных наблюдений из таблицы 6.4.1 обработаны с помощью инструмента «однофакторный дисперсионный анализ» из пакета анализа microsoft excel. Результаты обработки приведены в таблицах 6.4.2, 6.4.3

Таблице 6.4.2.

ИТОГИ
Группы	Счет	Сумма	Среднее	Дисперсия
Столбец 1	30	23,90076	0,79669	0,00047
Столбец 2	30	24,25154	0,80838	0,00043
Столбец 3	30	23,83703	0,79457	0,00053
Столбец 4	30	23,35077	0,77836	0,00048
Столбец 5	30	22,92961	0,76432	0,00071
Столбец 6	30	24,69176	0,82306	0,00060
Столбец 7	30	25,31971	0,84399	0,00046
Столбец 8	30	24,14639	0,80488	0,00047
Столбец 9	30	24,69011	0,82300	0,00027
Столбец 10	30	24,03924	0,80131	0,00038

Таблице 6.4.3.

Дисперсионный анализ
Источник вариации	SS	df	MS	F	P-Значение	F критическое
Между группами	0,141749	9	0,0157498	32,79	1,9413E-39	1,912
Внутри групп	0,139283	290	0,0004803
Итого	0,281031	299

Вычисленное значение F- критерия равно 32,79 и оно намного больше критического, равного 1,912, следовательно то с приняты уровнем значимости делается вывод о существенном влиянии на общую дисперсию разброса выборочных средних. Процесс нестабилен. Можно оценить вклад разброса средних в общий разброс, исходя из того, что Q=Q_A+Q_W. Примем полную сумму квадратов отклонений х_ij от общего среднего за 100%, вклад Q_A и Q_W составляют приблизительно по 50%.

дисперсионный анализ в пакете STATISTICA

Шаг 1. Ввести или импортировать (например, из Excel) исходные данные в рабочую книгу (Workbook) системы STATISTICA, выделить их, ввести название таблицы исходных данных и названия переменных.

Шаг 2. Щелкнуть по кнопке Start menu …, расположенной в левом нижнем углу окна приложения и в появившемся меню выбрать Statistics ® ANOVA. После чего появляется окно General ANOVA/MANOVA - Quick Tab

Шаг 3. После выбора строки One-way ANOVA появляется соответствующее окно с помощью которого выбираются зависимые (dependent variable(s) ) и группирующие (categorical predictor variables) переменные.

Шаг 4. Затем щелкнуть по кнопке OK и появляется окно ANOVA Results - Quick ,

где выбрать кнопку All effects, после чего и появляется окно Multivariate Tests of Significance с результатами анализа.

Пример 6.4.2. В качестве примера используем исходные данные социологического опроса рекламного исследования из файла Adstudy.sta, который находится в папке Examples и поставляется вместе с системой statistica. Данные представляют собой оценки респондентов (мужчин и женщин) качества двух рекламных роликов – ADVERT:1=Coce, ADVERT:2=Pepsi . Привлекательность роликов оценивалась по различным шкалам, ограничимся 9-ью шкалами (с Measur 1 по Measur 9). В каждой из шкал респонденты выставляли баллы от 0 до 7.

Проведя дисперсионный анализ согласно шагам 1 – 4 , получим окно Multivariate Tests of Significance с результатами, отражающими влияние факторов «пол» и «ролик».