4.6. Ранговая корреляция.

Иногда при исследовании зависимостей имеет место ситуация, когда шкала количественного измерения степени проявления некоторого свойства (признака) отсутствует (неизвестна) или ее просто не может быть. Кроме того возможна ситуация, когда информация имеет условный характер и может быть использована только для ранжирования объектов. Примерами таких процессов могут служить показатели эффективности функционирования различных социально-экономических систем, структура потребительского бюджета семьи, степень прогрессивности предлагаемого на конкурс проекта. В подобных ситуациях вместо конкретных значений исследуемого признака используются его ранги.

Ранговая корреляция отражает статистическую связь между порядковыми переменными. Исходный статистический материал представлен упорядочениями (ранжировками) n объектов по некоторым свойствам. Методы ранговой корреляции основаны на использовании условной числовой метки, обозначающей место объекта в ряду всех анализируемых объектов, которые располагаются в порядке убывания исследуемого свойства. При этом под условной числовой меткой понимается ранг объекта по исследуемому признаку.

Последовательность рангов элементов вариационного ряда, указывающих на место объекта в ряду, называется ранжировкой.

Под ранговой корреляцией понимается статистическая связь между порядковыми переменными.

Существуют методы и показатели, позволяющие оценить и проанализировать статистическую парную и множественную связь между несколькими параметрами исследуемого многомерного объекта, если они представлены ранжировками.

Для измерения степени тесноты парной статистической связи между ранжировками К.Спирмэн в 1904 г. предложил показатель, который впоследствии получил название рангового коэффициента корреляции Спирмэна [1, 3]

(4.1.9).

где и – i-е ранги соответственно параметров k и j. Выражение (4.1.9) справедливо при отсутствии в ранжировках групп объединенных рангов. Если такие группы есть, то определяется из выражения

(4.1.10).

где могут быть найдены из

(4.1.10).

где – количество элементов в группе неразличимых рангов, а – число групп неразличимых рангов.

Нетрудно убедиться, что при совпадающих ранжировках = , а , при противоположных . Во всех прочих случаях . Если , то связь между компонентами отсутствует. Кроме того, очевидно, что ранговый коэффициент корреляции обладает свойством симметрии, т.е. = .

Коэффициент конкордации.Свойства рассмотренных выше показателей парных связей свидетельствует о том, что чем теснее связь, тем больше информации содержит одна переменная относительно другой. На практике бывает важно объяснить поведение одной переменной (отклика) поведением совокупности других. Для решения таких задач используются измерители степени тесноты множественной связи [1, 4, 8] Кендаллом был предложен показатель , названный коэффициентом конкордации (согласованности), который вычисляется из выражения

, (4.1.11),

где m – число одновременно анализируемых порядковых переменных, – i-ый ранг отобранной для исследования порядковой переменной, k_j , – номер этой переменной в исследуемом многомерном признаке. Коэффициент конкордации обладает следующими свойствами:

• 0 < <1;

• =1 при условии, когда все m анализируемых упорядочений совпадают;

• коэффициент конкордации, вычисленный для двух переменных пропорционален парному ранговому коэффициенту корреляции Спирмэна .