4.4. Корреляционное отношение

Как отмечалось при отклонении парной статистической зависимости от линейной коэффициент корреляции теряет свой смысл как характеристика степени тесноты связи. В этом случае следует воспользоваться таким показателем (измерителем) связи как корреляционное отношение. Корреляционное отношение применимо в тех случаях, когда:

• между парой исследуемых переменных (параметров) отмечается нелинейная зависимость;

• характер выборочных данных (количество, плотность расположения на диаграмме рассеяния) допускает, во-первых, их группирование по оси входной переменной, во-вторых, возможность подсчета “частных” математических ожиданий внутри каждого интервала группирования.

Приведем последовательность методики вычисления корреляционного отношения. Пусть имеет место выборка из двумерной генеральной совокупности и между Х и Y существует нелинейная зависимость (см. рисунок 4.1.3) и компоненты Х и Y имеют совместно нормальное распределение.

Рис.4.1.3. Нелинейная зависимость между компонентами Х и Y двумерного параметра.

1. Разобьем диаграмму рассеяния по переменной Х на L непересекающихся интервалов группирования, которые могут иметь разную длину.

2. Найдем “частные” математические ожидания отклика Y в каждой из L выделенных групп

(4.1.2),

где , и n_j – количество элементов выборки в j-ом интервале группирования.

3. Найдем математическое ожидание по группированному отклику, используя “частные”

(4.1.3).

4. Получим групповую дисперсию выходной переменной Y

(4.1.4),

и дисперсию, полученную по негруппированному отклику

(4.1.5),

5. Корреляционное отношение зависимой переменной Y по независимой переменной Х может быть получено из отношения

(4.1.6).

Свойства корреляционного отношения. Корреляционное отношение не обладает свойством симметрии, т.е. ρ_xy ≠ ρ_yx. Кроме того ρ_xy неотрицательно, поскольку предполагается, что оно является результатом извлечения корня квадратного из (ρ_xy)² Корреляционное отношение 0 ≤ ρ_xy ≤ 1. Из ρ_xy = 1 следует, что между Y и X существует однозначная функциональная зависимость. Обратное утверждение в общем случае не верно. Отсутствие корреляционной связи между Y и X означает, что условные средние сохраняют от группы к группе постоянное значение, равное общему среднему , поэтому ρ_xy = 0. Необходимо также отметить, что между ρ_xy и ρ_yx нет какой-либо определенной зависимости. Некоррелированность Y от X не означает некоррелированности Х от Y.

4.5. Частные коэффициенты корреляции.

Иногда в практических ситуациях не удается интерпретировать на содержательном уровне выявленную парную связь между исследуемыми компонентами признака. Причину этого часто следует искать в опосредованном влиянии на исследуемые показатели некоторого третьего фактора [1, 8, 9]. Роль опосредованно влияющих факторов могут играть множество неучтенных показателей. Следовательно, необходимо введение показателей статистической связи, которые были бы очищены от такого влияния. В качестве показателя степени тесноты связи между переменными Х и Y при фиксированных значениях других переменных используются частные (“очищенные”) коэффициенты корреляции.

Пусть имеется многомерный нормальный вектор X = {x(1), x(2), ..., x(p)},

где x(i) – компоненты вектора, p – его размерность. Необходимо определить частный коэффициент корреляции r_ij между x(i) и x(j) компонентами вектора при фиксированном множестве переменных x(i,j), дополняющих пару x(i) и x(j) . При данных условиях

(4.1.6),

где Rij. – алгебраическое дополнение для элемента r_ij в определителе корреляционной матрицы R анализируемых признаков x(i), т.е. в определителе

(4.1.7).

Выражение (4.1.6) при условии р = 3 будет иметь вид

(4.1.8).