3.2. Проверка гипотезы о законе распределения

Пусть дана выборка независимых случайных чисел x_1,x_{2, ... ,}x_n имеющих эмпирическое (экспериментальное, производственное) распределение F_n(x) . Для проверки согласия распределения F_n(x) с теоретическим распределением F(x) используются: критерий Пирсона, l-критерий Колмогорова и nw²-критерий Мизеса-Смирнова. Предварительная оценка вида распределения может быть сделана сравнением эмпирического распределения с теоретическими распределениями.

Рассмотим использование критерия Пирсона или как его иначе называют, критерий c²(хи-квадрат) для проверки гипотезы о соответствии экспериментального распределения случайной величины нормальному закону.

Использование критерия Пирсона для оценки согласованности изучаемого распределения с нормальным основано на сравнении эмпирических и теоретических (вычисленных в предположении нормального распределения) частот.

Вначале находим середины частичных интервалов

.

Варианте соответствуют частоты , т.е. число наблюдений, которые попали в i-й интервал. В итоге получаем последовательность равноотстоящих вариант и соответствующим им частот в виде табл.1.7.

Таблица

		…
		…

Далее вычисляем среднее значение и оценку среднеквадратического отклонения s и нормируем границы интервалов по формулам

, .

Теоретические вероятности P_i попадания x в интервал (X_i, X_i+1) вычисляем с помощью функции Лапласа Ф(Z) по равенству

Искомые теоретические частоты нормального распределения

Использование критерия Пирсона основано на сравнении эмпирических (наблюдаемых) - и теоретических (вычисленных в предположении нормального распределения) m_i.частот. Обычно . и m_i. различны.

xi	x1	x2	…	xk
			…

Для проверки гипотезы о соответствии экспериментального закона распределения случайной величины нормальному при уровне значимости q требуется проверить нулевую гипотезу: генеральная совокупность, из которой взята выборка x_1,x_{2, ... ,}x_n распределена нормально.

В качестве критерия проверни нулевой гипотезы принимается случайная величина

или

где К - число интервалов.

Эта величина случайная, так как в различных опытах она принимает различные, заранее неизвестные значения. Чем меньше различаются эмпирические и теоретические частоты, тем меньше значениё критерия, и, следовательно, он в известной мере характеризует близость эмпирического и теоретического распределений. Возведением в квадрат разностей частот устраняется возможность взаимного погашения положительных .и отрицательных разностей.

Если расчетное (наблюдаемое) значение критерия оказалось меньше критического , которое находят по таблице , приведенным в приложении , для соответствующего уровня значимости a и числа степеней свободы k

, т.е. если

то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о нормальности распределения. В противном случае (при ) нулевая гипотеза отвергается.

Проверка с помощью критерия Колмогорова осуществляется следующим образом. Выборочная последовательность {x_i} упорядочивается в неубывающую последовательность {x_k} . Вычисляется абсолютное значение максимального расхождения D_n между производственными и теоретическими распределениями:

По полученному значению D_n рассчитывается величина l=n^1/2 D_n. Критические значения для l приведены в таблице , приложения .

Для проверки согласия с помощью критерия Мизеса-Смирнова (nw²-критерий), рассчитывается величина:

Заключение о существенном расхождении между производственными и теоретическими распределениями делается с доверительной вероятностью 95%, если nw² ³0,4614. Критические значения для nw²-критерия при других значениях доверительной вероятности 1-a приведены в таблице 3.2.1.

nw²-критерий Мизеса-Смирнова

Таблица 3.2.1.

1-a	0.5	0.4	0.3	0.2	0.1
nw2кр	0.1184	0.1467	0.1843	0.2412	0.3473
1-a	0.05	0.03	0.02	0.01	0.001
nw2кр	0.461	0.5489	0.6198	0.7435	1.1679

Объем выборки для проверки гипотез о законе распределения с помощью c²-критерия Пирсона и l-критерия Колмогорова должен быть не менее 100. При выборках меньших объемов более чувствительный nw²-критерий. Для более уверенного заключения о законе распределения исследуемой величины целесообразно пользоваться всеми критериями.