12. Дискретно-детерминированные модели (f-модели)

Автомат можно представить как некоторое устройство, на которое подаются входные сигналы и снимаются выходные и которое может иметь некоторые внутренние состояния. Конечным автоматом называется автомат, у которого множество внутренних состояний и входных сигналов (а следовательно, и множество выходных сигналов) являются конеч­ными множествами.

Абстрактно конечный автомат можно представить как математическую схему (F-схему), характеризующуюся шестью элементами:

1) конечным множеством X входных сиг­налов (входным алфавитом);

2) конечным множеством Y выходных сигналов (выходным алфавитом);

3) конечным множеством Z внут­ренних состояний (внутренним алфавитом или алфавитом состоя­ний);

4) начальным состоянием ;

5) функцией переходов ;

6) функцией выходов .

Автомат, задаваемый F-схемой: — функционирует в дискретном времени, такты, каждому из которых соответ­ствуют постоянные значения входного и выходного сигналов и вну­тренние состояния.

Обозначим состояние, а также входной и выходной сигналы, соответствующие такту через , , . При этом, по условию , , , .

Абстрактный конечный автомат имеет один входной и один выходной каналы. В каждый момент дискретного времени F-автомат находится в определенном состоянии состояний автомата, причем в начальный момент времени он всегда находится в начальном состоянии . В момент , будучи в состоянии z(t), автомат способен воспринять на входном канале сигнал и выдать на выходном канале сигнал , переходя в состояние .

Если , , … - это входное, то , , … - выходное слово.

Таким образом, работа конечного автомата происходит по следующей схеме: в каждом такте на вход автомата, находящегося в состоянии z(t), подается некоторый сигнал x(t), на который он реагирует переходом в такте в новое состояние с выдачей некоторого выходного сигнала.

Получаем:

Для F-автомата первого рода (автомат Мили):

для F-автомата второго рода

Автомат второго рода, для которого , , т.е. функция выходов не зависит от входной переменной , называется автоматом Мура.

По числу состояний различают:

1) конечные автоматы с памятью

2) автоматы без памяти

По характеру отсчета дискретного времени конечные автоматы делятся на:

1) синхронные.

2) асинхронные - считывает входной сигнал непрерывно,

Чтобы задать конечный F-автомат, необходимо описать все элементы множества:

. При чем необходимо выделить в момент Существует несколько способов задания работы F-автомата, но наиболее часто используют табличный способ.

Табличный способ:

Строки соответствуют входным сигналам автомата, столбцы – его состояниям. Обычно первый слева столбец соответствует начальному состоянию z₀ . На пересечении i-ой строки и k-го столбца таблицы переходов помещается соответствующее значение функции переходов, а в таблице выходов – соответствующее значение функции выходов.

Для F-автоматов Мура обе таблицы можно совместить, получая отмеченную таблицу переходов, в которой над каждым состоянием автомата, обозначающим столбец таблицы, стоит соответствующий этому состоянию выходной сигнал .

Таблица 1

			...
ПЕРЕХОДЫ
			...
			...
...	...	...	...
			...
ВЫХОДЫ
			...

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОНЕЧНОГО АВТОМАТА, ЗАДАННОГО НАПРАВЛЕННЫМ ГРАФОМ

Граф автомата представляет собой набор вершин, соответствующих различным состояниям автомата и соединяющих вершины дуг графа, соответствующих тем или иным переходам автомата. Для автомата Мура аналогичная разметка графа такова: если входной сигнал x_k, действуя на некоторое состояние автомата, вызывает переход в состояние z_j то дугу, направленную в z_j и помеченную x_k, дополнительно отмечают выходным сигналом у =  (z_j, x_k).

Таблица 2

xi	zk
	z0	z1	z2
Переходы
x1	z2	z0	z0
x2	z0	z2	z1
Выходы
x1	y1	y1	y2
x2	y1	y2	y1

Таблица 3

xi	y
	y1	y1	y3	y2	y3
	z0	z1	z2	z3	z4
x1	z1	z4	z4	z2	z2
x2	z3	z1	z1	z0	z0

На рис. 3, а, б приведены заданные ранее таблицами F-автоматы Мили F1 и Мура F2 соответственно.

Рис. 3. Графы автоматов Мили (а) и Мура (6)

При решении задач моделирования систем часто более удобной формой является матричное задание конечного автомата. При этом матрица соединений автомата есть квадратная матрица С= ||с_ij||, строки которой соответствуют исходным состояниям, а столбцы — состояниям перехода. Элемент c_ij = x_k / y_s, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца, в случае автомата Мили соответствует вход­ному сигналу x_k, вызывающему переход из состояния z_i в состояние z_j, и выходному сигналу y_s, вы даваемому при этом переходе. Для автомата Мили F1 матрица соединений имеет вид

.

Если переход из состояния z_i в состояние z_j происходит под действием нескольких сигналов, элемент матрицы c_ij представляет собой множество пар «вход-выход» для этого перехода, соединен­ных знаком дизъюнкции.

Для F-автомата Мура элемент c_ij равен множеству входных сигналов на переходе (z_i, z_j), а выход описывается вектором выходов

i-я компонента которого — выходной сигнал, отмечающий состоя­ние z_i.