9. Математические модели диффузных явлений в полупроводниках
Каждому типу природных взаимодействий можно подобрать более или менее адекватную ММ. Явление диффузии электронов и дырок в полупроводниках – пример наиболее простых и характерных взаимодействий на микроуровне. Уравнение непрерывности Пуассона выражает в полупроводниках скорости изменения концентрации свободных носителей заряда и записывается отдельно для электронов и дырок.
(1)
(2)
где
- концентрация дырок и электронов
- заряд
- скорости процесса инерции-рекомбинации
электронов и дырок
- плотность дырочного тока (3)
- плотность электронного тока (4)
- подвижности электронов и дырок
- коэффициенты диффузии дырок и электронов
- потенциал
Уравнения 1-2 показывают, что причинами изменения концентрации носителей может быть неодинаковость числа носителей, втекающих (и вытекающих) в элементарный объём полупроводника.
Тогда
и наблюдается нарушение равновесия
между процессами генерации и рекомбинации
носителей.
Уравнения (3) и (4) называются уравнениями плотности тока, характеризуют причины протекания электрического тока в полупроводниках, электрический дрейф под воздействием электрического поля и диффузию носителей при наличии градиента концентрации.
Уравнение Пуассона характеризует
зависимость изменений в пространстве
напряженности электрического поля
от распределения плотности электрических
зарядов
,
тогда
,
где
- относительная диэлектрическая
проницаемость,
- диэлектрическая постоянная
В качестве краевых условий в моделях
полупроводниковых приборов используют
зависимости потенциалов на контактах
от
.
В основе модели диффузионных процессов
лежит уравнение диффузии:
,
где
- концентрация примесей,
- коэффициент диффузии.
Краевые условия представлены зависимостью распределения примесей в объёме полупроводника в некоторый момент времени и зависимостью поверхностной концентрации от .
Всё это – математические схемы общего вида, но на практике на первоначальных этапах исследования используют типовые математические схемы.
10. Непрерывно – детерминированные модели
В непрерывно-детерминированных моделях случайные факторы не учитываются. Время непрерывно, недескретизированно.
Детерминированные уравнения, - в которых неизвестными были функции одной или нескольких переменных, причем в уравнения входят не только функции, но и их производные различных порядков.
Если неизвестные функции многих переменных, то уравнения называются в частных производных.
Если независимая переменная – одна, то ОДУ.
Если независимая переменная – время , то математическое соотношение в общем виде:
;
,
где
;
,
n – мерные векторы
- вектор функция, которая определена на
некотором
- мерном
множестве и является непрерывной.
Так как математические схемы такого вида отражают динамику излучаемой системы, то они и называются - схемы, т.е. динамическими.
В простейших случаях
- записывается:
Наиболее важно для системотехники приложение - схем в ТАУ.
Рассмотрим в качестве примера две колебательные системы:
1. механическую
- маятник.
2. электронную
- колебательный контур.
Error: Reference source not found
1) ОДУ:
- масса маятника
- длина маятника
- ускорение свободного падения
- угол
период
2) ОДУ:
- индуктивность контура
- емкость контура
- заряд в момент времени
отсюда
- период
Введём обозначение:
;
;
;
Т.е. получим ОДУ второго порядка, описывающего поведение этой замкнутой системы:
, где
- параметры системы
- состояние системы в момент времени
; т.е. поведение обоих объектов может
быть исследовано на основе одной
математической модели, к тому же они
взаимозаменяемы.
Если излучаемая система
взаимодействует с внешней средой
,
то появляется входное воздействие
(внешняя сила для
,
или источник энергии для
)
и математическая модель имеет вид:
Получаем, что
- входная, а
- выходная переменная системы в момент
.