21. Моделирование случайных воздействий

При моделировании системы S методом имитационного моделирования, в частности методом статистического моделирования на ЭВМ, существенное внимание уделяется учету случайных факторов и воздействий на систему. Формирование на ЭВМ реализаций случайных объектов любой природы из перечисленных сводится к генерации и преоб­разованию последовательностей случайных чисел.

Моделирование случайных событий. Пусть имеются случайные числа x_i т. е. возможные значения случайной величины , равномерно распределенной в интервале (О, 1). Необходимо реализовать случайное событие А, наступающее с заданной вероятностью р. Определим А как событие, состоящее в том, что выбранное значение x_i, случайной величины  удовлет­воряет неравенству . (1)

Тогда вероятность события А будет Тогда .

Процедура моделирования в этом случае состоит в выборе значений x_i, и сравнении их с р. При этом, если условие (1) выполняется, исходом испытания является событие А.

Таким же образом можно рассмотреть группу событий. Пусть A₁, A₂, …, A_s — полная группа событий, наступающих с вероят­ностями p₁, p₂, …, p_s, соответственно. Определим А_m как событие, состоящее в том, что выбранное значение x_i случайной величины  удовлетворяет неравенству

, (2) где . Тогда .

Процедура моделирования испытаний в этом случае состоит в последовательном сравнении случайных чисел x_i, со значениями l_r . Исходом испытания оказывается событие А_m, если выполняется условие (2). Эту процедуру называют определением исхода испытания по жребию в соответствии с вероятностями p₁, p₂, …, p_s.

Эти процедуры моделирования были рассмотрены в предполо­жении, что для испытаний применяются случайные числа x_i, имеющие равномерное распределение в интервале (О, 1). При моделировании на ЭВМ используются псевдослучайные числа с квазиравномерным распределением, что приводит к некоторой ошибке.

Моделирование непрерывных случайных величин. Рассмотрим особенности генерации на ЭВМ непрерывных случайных величин. Непрерывная случайная величина  задана интегральной функцией распределения

где — плотность вероятностей.

можно воспользоваться методом обратной функции. Взаимно однозначна монотонная функция , полученная решением относительно  уравнения , преобразует равномерно распределенную на интервале (О, 1) величину  в  с требуемой плотностью .

Действительно, если случайная величина  имеет плотность рас­пределения , то распределение случайной величины

является равномерным в интервале (О, 1). Чтобы получить число, принад­лежащее последовательности случайных чисел {у_j}, имеющих функ­цию плотности f_n (у), необходимо разрешить относительно y_j урав­нение

. (7)

М оделирование случайных векторов. Случайный вектор можно задать проекциями на оси координат, причем эти проекции являются случайными величинами, описываемыми совместным законом распределения. Рассмотрим дискретный случайный процесс, когда двухмерная случайная величина (, ) является дискретной и ее составляющая принимает возможные значения x₁, x₂, …, x_n, а составляющая  — значения y₁, y₂, …, y_n, причем каждой паре (x_i, y_j) соответствует вероятность р_ij. Тогда каждому возможному значению x_i случайной величины  будет соответствовать .

Т огда в соответствии с этим распределением вероятностей мож­но определить конкретное значение x_i случайной величины  (по правилам, рассмотренным ранее) и из всех значений p_ij выбрать последовательность

(8) которая описывает условное распределение величины  при усло­вии, что  = x_i. Затем определяем конкретное значение случайной величины  в соответствии с распределением вероятностей. Полученная пара будет первой реализацией моделируемого случайного вектора. Далее определяем возможные значения , выбираем последова­тельность

(9)

и находим в соответствии с распределением (9). Это дает реализацию вектора и т. д.

Рассмотрим моделирование непрерывного случайного вектора с составляющими  и . В этом случае двухмерная случайная величина (, ) описывается совместной функцией плотности f(х, у). Эта функция может быть использована для определения функции плотности случайной величины как

Имея функцию плотности , можно найти случайное число х_i, а затем при условии, что  = х_i, определить условное распределение случайной величины :

В соответствии с этой функцией плотности можно определить случайное число у_i. Тогда пара чисел (x_i, y_i) будет являться искомой реализацией вектора (, ).

Рассмотренный способ формирования реализаций двухмерных векторов можно обобщить и на случай многомерных случайных векторов. Однако при больших размерностях этих векторов объем вычислений существенно увеличивается, что создает препятствия к использованию этого способа в практике моделирования систем.