Введение

Курс математики в начальной школе, реализующий принципы развивающего обучения Д. Б. Эльконина — В. В. Давыдова, ориентирован главным образом на формирование у учащихся математических понятий, а не только на выработку практических навыков и умений. Цели курса достигаются в ходе развернутой учебной деятельности детей по постановке и решению ими системы учебных задач.

Основной задачей курса является освоение детьми понятия действительного числа на основе понятие величины. Поэтому даже натуральное число, изучением которого ограничивается начальная школа, рассматривается как отношение величин.

Обучение начинается с изучения признаков предметов. Действуя с различными предметами, пытаясь найти предмет, равный данному по некоторому признаку, дети выделяют такие параметры вещей, которые являются величинами, т. е. свойствами, для которых можно установить отношения «равно», «больше», «меньше». При этом выделение каждой конкретной величины (количества и массы, длины, площади, объема) в первую очередь связано с овладением детьми определенным способом сравнения вещей и лишь во вторую — со словом‑термином.

Результаты сравнения величин фиксируются сначала графически соответствующими отношениями отрезков, а затем с помощью буквенных записей вида А = Б, А > Б, Б < А.

В ситуации, когда невозможно выполнить непосредственное сравнение величин (путем прикладывания полосок бумаги, переливания воды и т. п.), дети открывают новый способ сравнения с помощью мерки и числа. Таким образом, число вводится как инструмент измерения. Измеряя величины различными мерками, дети обнаруживают, что числовая характеристика величины зависит не только от этой величины, но и от выбранной мерки, т. е. она относительна. Вводятся стандартные единицы измерения длины, массы, объема.

Процесс измерения-отмеривания величины отражается в специальной модели — числовой прямой. Далее дети обнаруживают, что предметные измерения при особых условиях могут быть заменены действиями с числами на числовой прямой. Если уже измерили одну величину и известно, на сколько мерок она больше или меньше другой, то значение этой другой величины можно узнать с помощью числовой прямой. Таким образом вводятся действия сложения и вычитания чисел как присчет и отсчет на числовой прямой. Действия с числами описываются выражениями. В дальнейшем ставится задача получения результатов сложения и вычитания при мысленном движении по числовой прямой. Так начинается этап формирования навыка вычислений.

Специальные предметные задачи позволяют ввести отношение целого и частей для величин. Дети обнаруживают, что целое можно найти, сложив части, а часть — вычтя из целого другую часть. Таким образом расширяется смысл арифметических действий сложения и вычитания. Отношение целого и частей фиксируется и изучается с помощью чертежей.

Работа с этими моделями позволяет учащимся понять, как простой текст («рассказ») преобразуется в несколько задач, каждую из которых можно рассматривать как задачу поиска значения целого или части.

Навык вычислений формируется на основе действий присчета и отсчета (с числами в пределах 20) и через освоение состава чисел (в пределах первого десятка).

При организации обучения в форме развернутой учебной деятельности логика предмета не может задаваться в виде готовых образцов, как это имеет место в традиционной системе обучения, а должна открываться самими школьниками.

Одним из основных методических требований курса является организация действий учащихся, таких как подбор или изготовление объектов, равных или неравных по заданному параметру, измерение величин, выполнение разного рода построений. При этом операции с реальными или рисованными объектами должны быть как бы повторены на условном графическом или знаковом материале, в результате чего создается модель изучаемого объекта, фиксирующая его сущность.

Во многие упражнения заложена «ловушка» — задание, на первый взгляд обычное, но на самом деле либо не имеющее решения, либо допускающее разные решения, либо требующее уточнения. На полях учебника такие задания отмечены специальным знаком. Как показывает опыт, дети с удовольствием ищут «ловушки». Но кроме повышения учебной мотивации эта работа важна для формирования у детей способности самостоятельно контролировать свои действия и точно оценивать условия выполнения того или иного действия.

Предусматривается, что вычислительные умения складываются на основе понятий, однако процесс перевода умений на уровень навыка имеет свои особенности. Сначала школьник учится «понимать», а затем «запоминать». Такое различие фиксируется тем, что вычислительные разделы представлены отдельным блоком в конце учебника.

При подготовке к уроку учитель должен обязательно прочитать методические указания к разделам, а не ограничиться лишь просмотром страниц учебника. Текст методического пособия раскрывает содержание каждого раздела учебника и описывает способы постановки и решения учебной задачи.

В общих чертах обучение организуется следующим образом. Сначала перед учащимися ставится предметная задача, поиск решения которой убеждает детей в том, что прежний способ действия в похожих ситуациях теперь оказывается или невозможным, или слишком трудоемким. В результате выполнения определенного предметного преобразования обнаруживается отношение, лежащее в основе нового класса задач и определяющее новый и при этом общий для всего класса задач способ действия. В процессе фиксации произведенных предметных действий в условной (модельной) форме происходит абстрагирование отношения. Посредством преобразования модели изучаются свойства выделенного отношения, на основе которых учащиеся выводят систему частнопрактических задач, решаемых общим способом.

Самые первые шаги в постановке учебной задачи чрезвычайно трудно представить в учебнике. Ведь учебник содержит готовые образцы решений, а нужно, чтобы дети сами открывали способы действия. Как это сделать, и описывает методическое пособие. Нередко процесс взаимодействия учителя и учеников передается в пособии с помощью прямой речи, показывая, как можно организовать в классе дискуссию, как учитель должен сам «ошибаться» и отстаивать неправильный ход рассуждения, чтобы дети аргументированно опровергли его.

Учителю предоставлена свобода в построении урока и определении объема материала, который будет на уроке пройден. Вместе с тем указано примерное число уроков, отводимое на каждую тему, при этом предусмотрен некоторый запас учебного времени на проведение контрольных работ и на непредвиденные обстоятельства.

Как указывалось выше, методика обучения предполагает преобразование учащимися разного рода рисунков, построение моделей, схем. Определенные пространственные ориентиры для выполнения таких действий должны быть заданы не в словесной, а в графической или знаковой форме. К данному учебнику прилагаются тетради. Одна из них содержит контрольные работы, другие — рабочие задания.

Кроме этого представлены упражнения по выработке графических навыков. По мере их выполнения учащиеся оценивают, проставляя специальные значки, заданные образцы написания цифр (среди которых обязательно есть неправильные) и свои собственные записи, выделяют цифры, требующие дополнительной отработки.