Пример 7

Решите в натуральных числах уравнение .

Решение.

Так как правая часть при натуральных z дает при делении на 4 остаток 1, то и левая часть должна давать такой же остаток при делении на 4, отсюда следует, что x четно. Пусть x=2m, где m-натуральное число. Аналогично, рассмотрим остатки обеих частей уравнения от деления на 3. Левая часть при всех натуральных x и y дает остаток 1, а 5^z дает остаток 1 только при четных z, откуда z=2k, где k-натуральное число. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде ,или .

Раскладывая левую часть по формуле разности квадратов, получаем . Так как разложение правой части содержит только тройки, то каждая из скобок должна быть неотрицательной степенью тройки. Так как разность между скобками не делится на три, то это возможно только в случае, когда , а . Отсюда , а , или .

Еще раз применяя формулу разности квадратов, получаем .

Значит оба сомножителя в левой части являются степенями двойки, отличающимися на 2. Следовательно, ,а ,откуда m=1, а , т.е. y=2. Тогда x=2 и 3²+4²=5^z, откуда z=2.

Ответ: x=2, y=2, z=2.

Пример 8

Шесть простых чисел являются последовательными членами возрастающей арифметической прогрессии. Докажите, что разность этой прогрессии не менее 30.

Решение.

Предположим, что разность прогрессии нечетна. Тогда в этой прогрессии будет как минимум три четных числа, что невозможно. Аналогично, если разность прогрессии не кратна 3, то в этой прогрессии будут как минимум два числа, кратных трем. Значит, разность прогрессии кратна 2 и 3, т.е. кратна 6.

Если разность прогрессии не кратна 5, то в ней есть член, кратный 5. Тогда это просто число 5. Если 5 – первый член прогрессии, то среди оставшихся 5 членов есть еще один член, кратный 5, что невозможно. Если же 5 не является первым членом, то первый член будет отрицательным, ибо ранее доказано, что разность прогрессии не меньше 6.

Итак, разность прогрессии кратна 5 и 6, т.е. кратна 30, а значит, не менее 30.