МБОУ « Михневская средняя общеобразовательная кола с углубленным изучением отдельных предметов»

Научно-исследовательская работа

«Геометрия 8 класса в одной задаче»

Работу выполнила: Катерноза Маргарита,

ученица 9 « А» класса

Руководитель: Курбатова С.В.

учитель математики

Михнево 2012

Содержание

1. Введение

2. Основная часть

   0. I решение задачи

   1. II решение задачи

   2. III решение задачи

   3. IV решение задачи

   4. V решение задачи

   5. VI решение задачи

   6. VII решение задачи

   7. VIII решение задачи

‌ IX решение задачи

0. Х решение задачи

1. ХI решение задачи

3. Заключение

Введение

С целью подготовки к итоговому тестированию по геометрии или к экзамену по предмету, возникла идея написания проекта «Геометрия 8 класса в одной задаче».

Цель:

показать многообразие подходов при решении одной геометрической задачи и найти более рациональный способ решения задачи.

Задачи:

1. Подобрать и решить геометрическую задачу несколькими способами, применив основной материал курса 8 класса.

2. Провести анализ подходов при решении одной геометрической задачи.

Актуальность моего проекта: на примере одной задачи можно повторить весь основной курс геометрии 8 класса, рассмотреть такой подход при решении, как дополнительное построение при решении геометрических задач, что крайне редко используется на уроках геометрии.

Новизна состоит в том, что по своей сути данная работа является модернизацией урока обобщения знаний за год обучения.

Числовые данные в задаче подобраны так, чтобы они не влекли за собой громоздких математических выкладок.

Итак, в своей работе я предлагаю рассмотреть одну задачу, применив несколько различных подходов. На самом деле решений было гораздо больше, но все они частично сводились к уже рассмотренным.

Основная часть

Задача. Найти площадь трапеции, основания которой равны 40 см и 20см, а боковые стороны 12 см и 16 см.

2.1. I решениe задачи

Дано: АВСD - трапеция АВ = 12 см, ВС = 20 см, СD= 16 см, АD = 40 см.	В С D А М N
Найти: S АВСD - ?

Решение.

Так как S АВСD = , то задача сводится к нахождению высоты H.

Проведем отрезки ВМ и СN так, что ВМ┴АD и СN┴АD, тогда ВСNМ – прямоугольник. Поэтому ВМ = СN и ВС = МN.

Но в таком случае АМ + ND =20

Пусть АМ = х (см), тогда ND = 20 – х (см).

По теореме Пифагора из ▲АВМ и ▲СND: Н² = 12² - х² и Н² =16² - (20 – х) ².

Составим равенство 12² - х² = 16² - (20 – х) ², 144 - х² = 256 – 400 + 40х - х² , 40х = 288, х = 7,2 (см ).

Находим высоту Н: Н² = 12² – 7,2² = 144 – 51,84 = 92,16, Н = (см).

Тогда S АВСD = (см²)

Ответ: 288 (см²)

2.2. II решениe задачи

Дано: АВСD - трапеция АВ = 12 см, ВС = 20 см, СD = 16 см, АD = 40 см.	В С D А N К
Найти: S АВСD - ?

Решение.

Пусть ВN ┴АD и ВК‌‌║СD, тогда ВСDК – параллелограмм.

Значит ВК = СD = 16 (см), КD = ВС = 20 (см).

Пусть АN = х (см), тогда NК = (20 –х) см.

Выразим высоту Н из треугольников АВN и ВNК по теореме Пифагора:

Н² = 12² - х² и Н² =16² - (20 – х) ².

Составим равенство 12² - х² = 16² - (20 – х) ², 144 - х² = 256 – 400 + 40х - х² , 40х = 288, х = 7,2 (см ).

Н = 9,6см.

Значит площадь трапеции S АВСD = (см²).

Ответ: 288 см²

На основании теоремы, обратной теореме Пифагора, я пришла к выводу, что треугольник АВК – прямоугольный ( 20² = 12² + 16²). Так появилось новое решение.