2 Метод текущего регрессионного анализа

Пусть по некоторому числу наблюдений n в моменты i=1, 2, …n ищется оценка коэффициентов модели в момент времени (n+α), где α=1, 2, ..≤n [4] Влияние информации, полученной в моменты времени n, n-1, n-2,… на точность оценки B(n+α) неодинаково. Для оценки ценности информации вводится функция веса φ(n, j,γ), где j – номер текущего наблюдения.

Для определения структуры алгоритма вычисления B(n+α), воспользуемся критерием наименьших квадратов, произведя взвешивание квадратов ошибок:

(5)

Вычисление B(n+α) из условия минимума (5) приводит к методу текущего регрессионного анализа. Выбор веса φ дает различные оценки B(n+α), но не оптимальные.

Рассмотрим различные функции веса. Принимаем, что с «увеличением» возраста наблюдений ценность их для определения оценок B(n+α) убывает, функция веса уменьшается с ростом (n-j). Для параметров процесса B(i) с монотонно убывающими корреляционными функциями может использоваться функция веса:

(6)

Такой вид функции веса соответствует методу «скользящего интервала». Более удобно выбирать функцию веса вида:

(7)

Параметр γ выбирается из условия минимума (4).

Рекуррентный алгоритм вычисления оценок параметров модели определяется выражением (3). Запишем такой алгоритм для метода текущего регрессионного анализа. Введем следующие обозначения:

(8)

(9)

Матрица функции «веса» (10) Коэффициенты модели (11)

Тогда величина L в (5) для выбора объема i может быть записана в следующем виде:

(12)

Минимизация (12) по оценке B(i+α) приводит к системе нормальных уравнений, как и в случае МРА:

откуда

(13)

При единичной матрицы выражение (13) совпадает с обычной мнк оценкой МРА.

Допустим, что после определения оценки B(i+α) появляется дополнительная информация x(i+1), y(i+1) необходимо подсчитать B(i+α+1). Тогда можно вновь воспользоваться формулой (13) подставляя в нее изменив входящие в нее матрицы (8-10).

Рассмотрим построение рекуррентного алгоритма вычисления B(i+α+1) используя уже подсчитанные величины B(i+α).

Для вычисления прогнозируемых значений коэффициентов B(n+α) по выборке из n наблюдений принимаем величину B(α) равной оценке мнк по имеющейся выборке:

(14)

Выбираем начальное значение обратной матрицы

(15)

Выбираем функцию веса где 0 < γ < 1. (16)

Тогда рекуррентное выражение для вычисления прогнозных значений оценок параметров модели принимает вид:

где