Практическое занятие №4. Векторы. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов.
Вопросы для самопроверки.
Что называется геометрическим вектором?
Что называется длиной(модулем) вектора?
Что называется нулевым вектором?
Какой вектор называется единичным вектором?
Какие векторы называются противоположными?
Какие векторы называются коллинеарными?
Какие векторы называются компланарными?
Какие векторы называются равными?
Дайте определение суммы двух векторов.
Дайте определение разности двух векторов.
Дайте определение произведения вектора на число.
Напишите признак коллинеарности двух ненулевых векторов.
Напишите признак компланарности трех ненулевых векторов.
Дайте определение угла между неколлинеарными векторами.
Дайте определение проекции вектора на ось.
Сформулируйте основные свойства проекции на ось.
Как определяется прямоугольная система координат на плоскости( в пространстве)?
Как определяются координаты вектора в прямоугольной системе координат? Напишите координатную форму геометрического вектора.
По какой формуле вычисляется длина вектора?
По каким формулам вычисляются направляющие косинусы вектора?
По какой формуле связаны направляющие косинусы вектора?
Дайте определение радиус-вектора точки определение координат точки.
Как записываются в координатах условия равенства, коллинеарности и компланарности векторов?
Как записываются в координатах линейные операции над векторами?
Как вычисляются координаты вектора, заданные двумя точками?
Как вычисляется расстояние между точками, через их координаты?
Как вычисляется координаты точки, делящий отрезок в данном отношении?
Дайте определение скалярного произведения векторов.
55
Сформулируйте свойства скалярного произведения.
Какие задачи можно решить с помощью скалярного произведения?
Примеры решения задач.
При каких значениях х векторы х
и (
противоположно направлены?
Решение.
Эти векторы противоположно направлены,
если множители х и
имеют разные знаки, т.е. их производные
отрицательны.
Отмечая
корни
на
числовой оси, в каждой промежутке
определяем знак выражения
и
составляем ответ. - + -
+
0 1 3
Ответ:
х
В прямоугольнике АВС:
Решение.
.
Ответ:
;
.
Векторы образуют угол
причем
C
D
Определить
и
.
B
A
.
На векторах
построим
параллелограмму ABCD:
=
+
Далее,
применяя теорему косинусов треугольникам
56
ABC
и ABD
получаем:
.
=
Ответ:
;
При каких значениях
коллинеарны?
Решение.
Из коллинеарности векторов следует,
что их соответствующие координаты
пропорциональны:
.
Отсюда :
и
.
Итак,
Ответ:
Разложить вектор
=(4;3;7)
по векторам
Решение.
Требуется представить
в виде
т.е.
Отсюда
следует, что
Решая
СЛУ,
Следовательно,
.
Ответ: .
Найти орт вектор вектора
Решение.
Из равенства
находим, что
.
Далее
=
Значит,
(
57
Ответ: (
Вектор
составляет с осью Ox
угол 60
,
а с осью Oy угол 45
,
его модуль
,
если его аппликата отрицательна.
Решение.
Пусть x, y, z- координаты вектора
,
т.е.
=
.
Координаты вектора
найдем
,
,
=1,
,
то
=
.
Отсюда находим, что
Условию
задачи удовлетворяет
,
т.к. z<0.
Имеем
x=3,
y=3
Ответ:
Дан вектор =(2;-1;20, Найти вектор , параллельный вектору и противоположного с ним направления, если
Решение.
По условию задачи
Тогда
=
=3.
Итак,
3
=15,
Условию
задачи удовлетворяет
.
Следовательно,
Ответ:
.
Известно, что =3, =4,
-3
.
Определить длину вектора
.
Решение.
Используем формулу
.
Далее,
=16
=16
Отсюда
=
Ответ:
=
Даны векторы
.
Вычислить
и
.
Решение.
Используем формулу
=
.
Вычислим скалярное произведение векторов
по формуле
58
Вычислим
модуль вектора
=
=3.
Итак,
.
Аналогично,
=
=
Ответ:
=
Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенный на векторах =
и
Решение.
Одному из диагоналей соответствует
вектор
=
другому-
вектор
=
Косинус
угла между векторами
находим по формуле
=
.
=
=
;
=1
1+2
Итак,
и
arccos
Ответ: arccos
Найти угол между векторами
если
известно, что векторы
=
и
взаимно
перпендикулярны.
Решение.
Векторы
ярное
произведение равно нулю:
=0
5
-4
5
+6
=0.
По условию
Тогда 5
Ответ:
59
Задачи для аудиторной и домашней работы.
По данным векторам построить каждый из следующих векторов: 1) 3
2)
2
3)
.
2.
В треугольнике АВС вектор и
=
=
.
Построить каждый из следующих векторов:
1)
;
2)
;
3) -
;
4)
.
3.
В треугольнике АВС вектор и
=
=
.
Найти вектор
идущих
по биссектрисе угла ВАС.
4.
В треугольнике АВС проведены медианы
АD,
BE, и CF. Найти сумму векторов
+
5.
В параллелепипеде
B'C'D'
заданы векторы
=
=
=
.
Построить каждый из следующих векторов:
1)
3)
;
4)
.
6. Проверить, что 4 точки А(-1;5;-10), В(1;2;-1), С(-1;1;-3), D(3;-5;3) служат вершинами трапеции.
7.
Даны точки А (-1;5;-10), В (5;-7;8), С (2;2;-7) и D
(5;-4;2). Проверить, что векторы
и
коллинеарны; установить, какой из них
длиннее другого и во сколько раз, как
они направлены- в одну сторону или в
противоположные стороны.
8.
Определите модули суммы разности
векторов
=(-1;1;-4).
9.
Определите, при каких значениях
векторы
коллинеарны.
10.
Вектор
Найти координаты вектора
,
если
=75.
11.
Найти орт вектора
60
12.
Даны
=13,
=24.
Вычислить
.
13.
Даны
=11,
.
14.
Векторы
и
взаимно перпендикулярны, причем
=3
и
.
15.
Векторы
и
образуют угол
,
причем
=3
и
Определить
.
16. Определите, принадлежат ли точки А(1;-1;2), В(2;0;3), С(4;1;-1), D(3;1;4) на одной плоскости.
17.
Как должен быть связаны векторы
и
,
чтобы выполнялись соотношения: 1)
=
;
3)
;
4)
;
5)
?
18.
На плоскости даны два вектора
=(2;-3)
Найти разложение вектора
=(9;4)
по базису
,
.
19.
На плоскости даны векторы
=(3;-2),
базису
,
.
20.
В пространстве даны векторы
=(3;-2;1),
=(11;-6;;5).
Найти разложение вектора
,
.
21.
В пространстве даны векторы
=(2;1;0),
=(3;7;-1).
Найти разложение вектора
,
.
22.
Векторы
и
образуют угол
+2
23.
Векторы
и
образует
с ними угол углы, равные
=3
и
,
=8,
вычислить
2
.
24.
Даны векторы
=(4;-2;-4),
.
Вычислить: а) (
б)
;
в)
;
г)
61
25.
Даны векторы
Вычислить: а)
;
б)
;
в)
).
26.
Определить, при каком значении
векторы
и
перпендикулярны.
27.
Даны векторы
,
коллинеарный вектору
,
образует острый угол с осью Оz. Зная, что
=50,
найти его координаты.
28.
Даны векторы
,
,
.
Найти вектор
,
если
=14;
29.
Найти вектор
,
зная, что он перпендикулярен к векторам
и
и удовлетворяет условию
30.
Даны точки А(1;-1;1), В(2;2;-1), С(
D(3;5;-3
.
При каких значениях
векторы
,
,
компланарны?
Ответы:
3.
4.
6.
,
не //
.
7.
=2
,
=2
,
8.
=6;
9.
10.
11.
(
;
.
12.
22 13.
20 14.
5 15.
,
16.
Да 17.
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
18.
.
19.
.
20.
.
21.
22.
-13. 23.
-668. 24.
а)22; б) 16; в)320; г)
25.
а)-41; б) 125; в)
.
26.
-6. 27.
(-24;-32;30) 28.
(1;2;3) 29.
(3;-3;-3). 30.
=-2.
62