Ответы:

1. а) 22; б) 5; в) 3; г) 1; д) 0; е) ; ж) 4ab; з) 2.

2. а) 0; б) 236; в) 120; г) –48; д) –72; е) 42; ж) –2; з) 2.

3. а) , ; б) , ; в) , ; г) , ; д) 3; е) –4; ж) –6; з) 42.

4. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) .

5. а) 0; б) 472; в) –36; г) –192; д) –74; е) 43; ж) –13; з) 15.

Задания для индивидуальной самостоятельной работы №1.

В каждом задании N – номер вашего варианта.

1. Вычислить определители второго порядка.

а) ; б) .

2. Вычислить определители третьего порядка.

а) ; б) .

3. Найти сумму и произведение корней уравнения .

18

Лекция №2. Матрицы.

1. Понятие матрицы. Частные виды матриц. Элементарные преобразования матриц. Понятие эквивалентности и равенства матриц. 2. Действия над матрицами и их свойства. Линейная комбинация матриц. 3. Вырожденные и невырожденные матрицы. Понятие обратной матрицы. Теорема о существовании и единственности обратной матрицы. 4. Понятие ранга матрицы.

2.1 Матрицы, впервые появившиеся в середине XIX века в работах английских математиков У. Гамильтона (1805-1865) и А. Кэли (1821-1894), в настоящее время в прикладной математике используются весьма широко, они значительно упрощают рассмотрение сложных систем уравнений.

О. Матрицей размера m×n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов:

А= . (1)

Матрицу А размера m×n обозначают так: . Числа, составляющие матрицу, называются её элементами. Элемент матрицы, стоящий на пересечении строки с номером i ( номера считываются сверху вниз) и столбца с номером j (номера считаются слева направо), обозначаются . При m=n прямоугольная матрица называется квадратной матрицей n-ого порядка . Главной диагональю квадратной матрицы называется совокупность элементов , , … , . Квадратная матрица называется диагональной, если все её элементы, лежащие вне главной диагонали, равны нулю. Единичной матрицей E n-го порядка называется диагональная матрица, у которой каждый элемент находящийся на главной диагонали, равен единице. Например,

Е= - единичная матрица 3-го порядка

Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю. Матрицей-столбцом называется матрица, содержащая один столбец. Матрицей-строкой называется матрица, содержащая одну строку. Матрицы А и В одинакового размера называются равными, если каждый элемент матрицы А равен соответствующему элементу матрицы В:

А=В <=> = , где i=1,2,..,m; j=1,2,…,n. (2)

О. Элементарными называются следующие преобразования матрицы: 1) Перестановка строк(столбцов); 2) Умножение строки(столбца) на некоторое число k≠0; 3) Прибавление к элементам строки(столбца) соответствующих элементов другой строки(столбца), умноженных на любое число; 4) Транспонирование. О. Две матрицы А и В одинакового размера называются эквивалентными, если существуют невырожденные матрицы P и Q такие, что A=PBQ. Обозначение: А В.

19

2.2 О. Суммой матриц А и В размера m×n называется матрица С того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В:

С=А-В, = , i=1,2,..,m; j= 1,2,.., n. (3)

О. Разностью матриц А и В размера m×n называется матрица С того же размера, каждый элемент которой равен разности соответствующих элементов матриц А и В:

С=А-В, = i=1,2,..,m; j= 1,2,.., n. (4)

О. Произведением матриц А на число называется матрица В, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число :

В= *А, = i=1,2,..,m; j= 1,2,.., n. (5)

О. Произведением матриц А размера m×k и В размера k×n называется матрица С размера m×n, каждый элемент который равен сумме произведений i-ой строки А на соответствующие элементы j-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-ого столбца матрицы В:

= * , (6)

= * , где i= ; j= .

Получение элемента схематично изображаются так: чтобы найти элемент , нужно «приложить» i-ю строку матрицы А к j-ому столбцу матрицы В, перемножить соответствующие элементы и полученные произведения сложить. Заметим, что умножение матрицы А на матрицу В определено только тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Пример: Найти произведение матриц А= и В= .

Матрица А имеет размерность 2 3, а матрица В- 3 2, т.е число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Значит, А*В=С существует и размерность матрицы С равна 2 2:

С= * = =

Если произведение А В матриц определено, то нельзя сказать что существует также произведение В А. Если определены оба произведения А В и В А, то в общем случае они не равны.

Пример: А= , В= .

20

Тогда А*В= * = =

В*А= * = = , отсюда АВ≠ВА

О. Транспонированием матрицы называется замена строк на её столбцы с сохранением их порядка. Если исходная матрица имеет вид (1), то транспонированная матрица = , (7)

О. Возвести матрицу А в степень n – это умножить её на себя n раз, т.е = n раз Возведение в степень определено только для квадратных матриц. Свойства операций над матрицами: 1. А+В=В+А ; 8. (А*В)*С=А*(В*С); 2. (А+В)+С=А+(В+С); 9. (А+В)*С= А*С+ В*С; 3. (А+В)= А+ В; 10. А(В+С)= А*В+ А*С; 4.( + А= А+ В; 11. = А; 5. ( А)= ( * )А; 12. = * ; 6. А*В≠В*А 13. (А+ = + 7.Е*А=А*Е=А; 14. (А- = * .

Пример: Найти значение многочлена f(A) от матрицы А: f(x)=3 -5х+4, А= . Решение: f(A)= 3 -5A+4E, где E= . 1) = А*А = * = =

2) 3* = 3* = .

3) 5*А= 5* = .

4) 4Е= 4* = .

5) f(A) = - + = = .

Пусть А и В квадратные матрицы n-го порядка. Тогда их произведение А*В также квадратная матрица n-го порядка.

21

Каждой квадратной матрице ставится в соответствие некоторое число, которое называется определителем этой матрицы. Оказывается справедливо свойство: Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц, т.е * , (8) где А= , В= .

6.3 О. Матрица называется обратной для квадратной матрицы А, если при перемножении этих матриц получается единичная, т.е А* = *А=Е, (9) где А, , Е – матрицы одного порядка. О. Матрица А называется невырожденной(неособенной), если её определитель отличен от нуля (det A≠0), и вырожденной, если её определитель равен нулю (det A=0).

Теорема. Обратная матрица существует( и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица А является невырожденной. Необходимость существует => А-невырожденная? По условию А* =Е=> =  * =1=> ≠0, ≠0=> А и - невырожденные матрицы и = (10)

Достаточность. А- невырожденная матрица. Доказать что существует. Пусть А= , ≠0- невырожденная матрица второго порядка. Обозначим = . Её элементы равны алгебраическим дополнениям элементов матрицы . Вычислим произведение А и : А * = * = = или А * = *Е=> А*( * )= Е (*) Аналогично, * А= *Е=> ( * )* А = Е. (**) Сравнивая неравенства (*) и (**) с условием (9), установим, что = * , (10) т.е существует и она единственна. Заметим, что матрица называется присоединенной матрицей к матрице А. Итак, обратная матрица для невырожденной матрицы А= вычисляется по формуле: = * . (11) Для невырожденной матрицы третьего порядка А= , по формуле = * . (12)

22

Вычисление обратной матрицы по формуле (10) называется методом присоединенной матрицы. Пример: Вычислить матрицу, обратную для А= . 1) = =3-4= -1 0; 2) По формуле (11): = * = .

Свойства обратных матриц: 1. 3. 5. =. 2. = ; 4. = * ; 6.4) О. Минором k-того порядка произвольной матрицы А называется определитель, составленный из элементов матрицы, расположенных на пересечении каких-либо k строк и k столбцов. Например, в матрице А= можно указать такие миноры: 1-го порядка : ; ; . 2-го порядка : ; ; . 3-го порядка : ; . О.Рангом матрицы А (rang A) называется максимальный порядок отличных от нуля миноров этой матрицы Пример: Найти ранг матрицы А= . Одним из методов вычисления ранга матрицы является метод окаймляющих миноров. Пусть в матрице найден минор k-того порядка , отличный от нуля. Рассмотрим лишь те миноры (k+1)-го порядка, которые содержат в себе(окаймляют) минор М: если все они равны нулю, то rang A=k. В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой минор (k+1)-го порядка, и вся процедура повторяется. Фиксируем минор 2-го порядка, отличный от нуля: : = 1-(-4)=5 . : , окаймляющий минор , также отличен от нуля: = -26. Поэтому rang A=3

23

О.Пусть rang A =r. Любой минор r-го порядка матрицы А называется базисным минором. Строки и столбцы матрицы, участвующие в образовании базисного манора, также называются базисными.

Свойства ранга матрицы: 1) Если матрица имеет размер m×n, то ранг её будет не больше минимального из чисел m и n: rang A ≤ min(m,n); 2) rang A=0 тогда и только тогда, когда А- нулевая матрица; 3) Если А-квадратная матрица n-го порядка, то rang A=n тогда и только тогда, когда А-невырожденная матрица, т.е 0 4) Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы. 5) С помощью элементарных преобразований любую матрицу можно привести к ступенчатому виду. 6) Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ее ненулевых строк.

Пример: Вычислить ранг матрицы методом элементарных преобразований: А= . Решение. Производя последовательно элементарные преобразования, будем иметь: ̴ ̴ ̴ ̴ . Ранг последней матрицы равен двум, следовательно, таков же и ранг исходной матрицы, rang A=2. Заметим, что ранги эквивалентных матриц равны и обратно, т.е ̴  rangA=rangB. Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу её линейно независимых строк и столбцов. Теорема: Базисные строки(столбцы) матрицы линейно независимы. Следствие: Всякая строка(столбец) матрицы является линейной комбинацией её базисных строк(столбцов).

Литература:[1;c 59-67],[4;c 16-32].

24