2. Исследовать на экстремум функции:

а) y= x³-2x²+3x+1

б) y=1+ ^2\

Решение

а) Находим производную y’=x²-4x+3

Приравниваем ее нулю и решаем уравнение x²-4x+3=0. Его корни x₁=1,х₂=3 –критические точки. Область определения функции (-∞;∞) разбивается на интервале (-∞;1).(1;3),(3; ∞). Исследуем критическую точку х₁=1,определяя знак y’ вблизи этой точки слева и справа от нее: y'(1-0)>0, y’(1+0)<0, то при х₁=1 функция имеет локальный максимум: y_max=y(1)= -2+3+1=2 . Аналогично ,для точки х₂=3 получаем y’(3-0)<0,y’(3+0)>0. Следовательно, при х₂=3 функция имеет локальный минимум: y_min=y(3)= *3³-2*3²+3*2-1=9-12+6-1=2

Б)Находим производную y’= * . Производная не обращается в нуль ни при каких значениях х и не существует лишь при х=2.Это и есть критическая точка. Определим знаки y’ вблизи точки х=2: y’(2-0)<0,y’(2+0)>0. Следовательно ,при х=2 функция имеет локальный минимум: y_min=y(2)=1.

3.Исследовать на экстремум с помощью второй производной функции y=x+cos2x в интервале (0; ).

Решение.

а) Находим производную y’=1-2sin2x.

б)Определим критические точки ,принадлежащие заданному интервалу:

1-2sin2x=0 sin2x= 2x=(-1)ⁿ + z, x=(-1)^{n + ,}n при n=0,х₁= , при n=1

x₂= - + =

в)Находим y”=(1-2sin2x)’=-2(sin2x)’=-2cos2x*(2x)’=-4cos2x.

г)Найдем значение второй производной в критических точках:

135

y”( )=-4cos =-4cos =-4* =-2 , то при х= функция имеет локальный максимум: y_max=y( )= +cos = +

y”( )=-4cos =-4cos =- 4(-cos )=4* =2 то при х= функция имеет локальный минимум :

y_min=y( )= +cos = -

4. Найти промежутки выпуклости и выгнутости графика функции

y=x⁴-2³-36x²-x+7.

Решение

а) Найдем вторую производную:

y’=4x³-6x²-72x-1, y”=12x²-12x-72. Y”=0 12x²-12x-72=0 или x²-x-6=0 x₁=-2, x₂=3.

б) Эти точки разбивает область определения функции на интервалы (-∞;-2),(-2;3) и (3;+ ∞)

в) Определим знаки второй производной в каждом интервале. Y”(-3)=72>0, то в промежутке (-∞;-2) y”>0, поэтому в этом интервале график функции выгнута. Y”(0)=-72<0, то в промежутке (-2;3) y”<0,следовательно ,в жтом интервале график функции выпукла y”(4)=72>0,значит,в интервале (3; ∞) график функции выгунта.

5. Найти точки перегиба кривой y=8/x²4.

Решение.

а) Найдем вторую производную y’= - 16x/(x²+4)²

y”= - (16x/(x²+4)²)’= - (16*(x²+4)²-2(x²+4)*2x*16x)/(x²+4)⁴= 64x²-16(x²+4)/(x²+4)³=48x²-64/(x²+4)³

б)Найдем точки, в которых вторая производная обращается в нуль: y”=0

(48x²-64)/(x²+4)³=0 48x²-64=0 x²= x₁= - , x₂= .

в) Установим знаки второй производной функции в этих точках:

x₁= - . Если x > - ,например , х=-2, то y”= >0 ;если x>- ,например, х=0,то y”=-1<0. Итак, при x= - имеем точку перегиба. x₂= , если х< , например х=2, то

y"= >0.Значит, при х= также имеет точку перегиба.

г)Находим y( - )=(8/(- )² +4)=8/ +4= .

Итак, (- ; .) и ( ; .) – точки перегиба.

6. Найти асимптоты графика функции y=

Решение.

Находим вертикальные асимптоты. Из определения асимптоты следует, что

или или то прямая х=а есть асимптота кривой y=f(x) ; и обратно, если х=а естҗ асимптота ,то выполняется одно из написанных равенств. Область определения функции состоит из интервалов : ( x²-x-2≠0 x₁≠-1 ,х₂≠2) x (-1;2), (2; ∞)

= +∞, =-∞ - вертикальная асимптота.

136

= -∞, =+∞ - вертикальная асимптота.

Находим наклонные асимптоты:

K= = = = =1,

B= = = = =1.

Следовательно, прямая у=х+1 есть наклонная асимптота данной кривой.

Задания для аудиторный и домашний работы.

1. Найти интервалы монотонности и экстремума функций:

1.1. y=x⁵-2x³+x 1.2. y=x⁵-5x

1.3. y=x³- x²-6x+4 1.4. y=x³-3x²-45x+2

1.5. y= 1.6. y=

1.7. y= 1.8. y=x²lnx

1.9. y=sinx+cosx 1.10. y=sin2x-x

2. Исследовать на экстремум с помощью второй производной следующие функции:

2.1. y= -2x²+3x+1 2.2. y=x³-9x²+15x+3

2.3. y=x⁴-8x²+2 2.4. y= - x⁴+2x²+4

2.5. y=3x⁵-125x³+2160x 2.6. y=x⁵-2x³+x+6

2.7. y= 2.8. y= +

2.9. y=x+ 2.10. y=xln²x

3.Исследовать на выгнутость, выпуклость и точки перегиба функции:

3.1. y=x³-3x²-18x+7 3.2. y= x³+2x²

3.3. y=x⁴+2x+3x+2 3.4. y=x⁴-x³+4x+3

3.5.y=x⁵-5x⁴+3x+5 3.6. y= x⁵+2x⁴-9x+6

3.7.y= +lnx 3.8. y=

3.9. y= 3.10. y=ln(1+x²)

4. Найти асимптоты следующих кривых:

4.1. y 4.2. y

4.3. y 4.4. y

4.5. y 4.6. y

4.7. y 4.8. y=

4.9. y=x+e^-x 4.10. y=x+e^-xsinx

137

ОТВЕТЫ:

1.1. при х ( -∞;-1) ( - ; (1; ∞) функция возрастает; при х (-1; ) ( ;1) функция убывает. Y_max=y(-1)=0, . Y_max=y( = , y_min=y(1)=0, , y_min=y( = .

1.2. при х ( -∞;-1) (1; ∞) функция возрастает; . при х ( -1;1) функция убывает;

Y_max=y(-1)=4, y_min=y(1)=-4

1.3. . при х ( -∞;-1) (2; ∞) функция возрастает; . при х ( -1;2) функция убывает; Y_max=y(-1)=7,5, y_min=y(2)=-6

1.4. при х ( -∞;-3) (6; ∞) функция возрастает; . при х ( -3;6) функция убывает;

Y_max=y(-3)=83, y_min=y(5)=-173

1.5. при х ( -∞;-2) (-2; - ) ( ) функция возрастает; . при х ( -1; ) функция убывает;Y_max=y(- )=-17-12 , y_min=y( )=-17+12 ,

1.6. при х ( -∞;- ) (0; ∞) функция возрастает; . при х (- ;0) функция убывает;

Y_max=y(- )=

1.7. при х ( 0;е) функция возрастает; . при х ( е; ∞) функция убывает;

Y_max=y(е)=

1.8. при х ( ; ∞) функция возрастает; . при х ( 0; ) функция убывает;

y_min=у( )=- .

1.9. при х ( ; ;)к=0, функция возрастает; при х ( ; ;)к=0, функция убывает;

Y_max=y( = y_min=у( )=-

1.10 при х ( ; ;)к=0, функция возрастает; при х ( ; ;)к=0, функция убывает; Y_max=y( )= y_min=у( )=

2.1. Y_max=y(1)= , y_min=y(2)=

138

2.2. Y_max=y(1)=10, y_min=y(5)=-22

2.3. Y_max=y( )=-14, y_min=y(0)=2

2.4.Y_max=y( )=5, y_min=y(0)=4

2.5. Y_max=y(3)=3834, Y_max=y(-4)=-3712; y_min=y(4)=3712; y_min=y(-3)=-3834

2.6. Y_max=y(-1)=6, Y_max=y( )=6+ y_min=y(1)=6 y_min=y )=6-

2.7. Y_max=y(1)= , y_min=y(-1)=-

2.8. Y_max=y(-4)= , y_min=y( )=

2.9. Y_max=y( )=

2.10. Y_max=y(е^-2)=4е^-2, y_min=y(1)=0

3.1. при х ( -∞;1) кривая выпукла; при х (1;∞) кривая выгнута ;точка (1;-13)- является точкой перегиба

3.2. при х ( -∞;-2) кривая выпукла; при х -2;∞) кривая выгнута; точка (-2; )- является точкой перегиба

3.3. при х ( -∞;-1) (0; ∞) кривая выгнута; при х (-1;0) кривая выпукла; точки (0;2) и(-1;-2) являются точками перегиба кривой

3.4. при х ( 0; ) кривая выпукла; при х (-∞;0) ( ; ∞) кривая выгнута ;точки (0;3)и ( ; )- являются точками перегиба кривой

3.5. при х ( -∞;3) кривая выпукла; при х (3;∞) кривая выгнута ;точка (3;-149)- является точкой перегиба.

3.6. . при х ( -∞;-6) кривая выпукла; при х (-6;∞) кривая выгнута ;точка (-6; )- является точкой перегиба

3.7. при х ( 0;1) кривая выпукла; при х (1;∞) кривая выгнута ;точка (1; )- является точкой перегиба

3.8. при х ( - ; ) кривая выпукла; при х (-∞;- ) ( ; ∞) кривая выгнута ;точки

(- ; ) и ( ) - являются точками перегиба.

139

3.9. при х ( - ; ) кривая выпукла; при х (-∞;- ) ( ; ∞) кривая выгнута; точки

(- ; ) и ( )- являются точками перегиба.

3.10. при х ( -∞;-1) (1; ∞) кривая выгнута; при х (-1;1) кривая выпукла; точки (-1;ln2) и(1;ln2) являются точками перегиба кривой.

4.1 x=1 4.2.х=2 4.3.х=-1 , х=1,у=1 4.4.х=-2, х=2,у=2 4.5.х=-2,х=1,у=х-1 4.6.х=-2,х=3,у=х+1

4.7.х=1,у=0 4.8.х=-2,у=0 4.9.у=х 4.10.у=х

Задания для индивидуальной самостоятельный работы №9.

В каждом задании N-номер вашего варианта.

1.Найти интервалы монотонности экстремумы функции

Y=x³+Nx²-(2N+3)x+N+4

2. Исследовать на экстремум с помощью второй производной

Y= x⁴- x²+N²

3.Исследовать на выгнутость, выпуклость, и точки перегиба функции

Y= x⁴+ x³- x²+2x+1

4. Найти асимптоты кривой

Y=

5.Глобальные экстремумы функции на отрезке, их нахождение для дифференцируемой функции.

Нулевые варианты контрольной работы Вариант №1. 1.Вычислить определитель четвёртого порядка.

140

2.Решить по формулам Крамера систему уравнений. 3.Вычислите , еслиА= ,В= 4.Найдите длину медианы А М треугольника с вершинами А(2;-2;0), В(7;-3;1), С(1;-1;5) . 5.Найти угол между прямой 3х+2y+4=0, и прямой, проходящей через точкиМ (2;-2), М (4 ; -3). 6.Найти область определения функции. + 7.Вычислить предел . 8.Найти значение производной функции при x=1. 9.Вычислить предел ,применяя правило Лопиталя 10.Найти сумму ординат точек экстремумов функции y= .

Ответы Вариант 1 . 1. 0; 6.( ;2) 2. (-1; 1; -2) 7. 3. . 8. 4. 9.8 5.arctg 10. 0.

141

Вариант № 2. 1.Вычислить определитель ,его минор и алгебраическое дополнение . 2.Решать методом Гаусса систему уравнений 3.Задана матрица А= .Матрица +3А имеет вид .Найтиа,в,с. 4.Найти (3 - ),если =(0; 2; 3), =(-1; 3; -2) . 5.Даны вершины треугольникаА(-7; 3), В(5; -2), С(8;2).Найти координаты точки пересечения медианы ВDи высотыCE. 6.Найти область определения функции +arcsin . 7.Вычислить предел . 8.Найти значение производной функции, заданной параметрический при t= . 9.Составить уравнение касательной и нормали к кривой y= в точке =2 10.С помощью дифференциала вычислить tg .

142

Вариант 2. 1. ∆= -40, = -23, =14 6. 2.(0; 2; ; ). 7. 3.а= -2, в=4 ,с=42 8. 1 4. 9. 4x+27y-17=0; 81x-12y-158=0 5. 10. 1,0355

Примерный вариант итоговой зачётной или экзаменационной работы. 1.Вычислить определители 3-го порядка, миноры, алгебраические дополнения. 2.Вычислить определитель 4-го порядка. 3.Выполнить действия над матрицами. 4.Решить СЛУ методом Крамера. 5.Решить СЛУ методом Гауса. 6.Вычислить обратную матрицу. 7.Вычислить угол между векторами; проекцию вектора на ось. 8.Составить уравнения сторон, медиан и высот 9.Найти область определения функции. треугольника. 10.Вычислить пределы. 11.Найти значение производной функции в точке. 12.Найти интервалы монотонности и экстремумы функции. 13.Найти интервалы выпуклости ,вогнутости и точки перегиба функции. 14.Найти наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке. 15.Вычислить предел, пользуясь правилом Лопиталя. 16.Применяя теоремы Ролля, Лагранжа ,найти среднюю точку функции.

Преобразование произведения функций.

143

Приложение №1. Формулы сокращённого умножения 1. 2. 3. 4. )= Формула тригонометрии: Функции одного угла. 1. 2. tg 3.1+ =1/ 4.1+ Формулы сложения. 5.sin( 6.cos( 7. Формулы двойных, половинных, тройных углов. 8.sin2 9. cos2 10.tg2 11.cos = 12.sin = 13.tg = 14.sin 3 =3sin -4 15.cos3 =4 -3cos Преобразование суммы функций в произведение. 16.cos +cos =2cos cos 17.cos -cos =-2sin sin 18.sin +sin =2sin cos 19.sin -sin =2sin cos 144

20. tg tg = 21. cos = (cos( )+cos( 22.sinsin = (cos( 23. sin cos = (sin( Понижение степени. 24. = (1+cos2 ) 25. = (1-cos2 ) 26. sin cos = sin2

Значения тригонометрических функции некоторых углов.

	0		/4		/2
sin	0	1/2	1/	/2	1	/2	0	-1	0
cos	1	/2		1/2	0	-1/2	-1	0	1
tg	0	1/	1			-	0		0
ctg			1	1/	0	1/		0

Формулы приведения.

Функция				2
sin	+cos		-cos
cos		-cos	sin
tg
Ctg

145

Приложение №2 Таблица производных и дифференциалов основных элементарных функций.

№	f(x)	f '(x)	d f(x)
1	(		dx
2	(0<
3			dx
4	(0<a
5
6
7
8
9
10
11
12
13

146

Основные правила дифференцирования элементарных функций. 1. (C) , C=const 2. (f 3. (Cf) '=C f ' 4.(f ) '=f 'g +fg ' 5. ' , g≠0 6. , g 7.(f ((x))) ' ((x)) '(x)или производная сложной функции. 8. ( (y)) ' или производная обратной функции. 9. производная функции, заданной параметрический .

147

Литература 1. Баврин И.И. Высшая математика: Учебник. 3-е изд., стереотип .-М.;, Издательский центр «Академия»,2003.-616с. ISBN-5-7695-0612-1. 2. Михеев В.И., Павлюченко Ю.В. Высшая математика, краткий курс. - М.: Физматлит. 2007. - 200 с. ISBN-5-978-9221-0772-3. 3. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учебное пособие. - М.: Высш. шк. , 2003.- 304 с. ISBN-5-06-003575-1. 4. Шапкин А.С. Задачи с решениями по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие-3-е изд.- М.: « Дашков и К°», 2006.-432 с. ISBN-5-94798-957-3. Дополнительная литература 1. Абрамова В.В. , Зайниев Р.М. , Сафаров А.С. . Сборник заданий по математике/Под ред. Котляра Л.М. и Зайниева Р.М. - 2-е изд. , перераб. и доп. - Набережные Челны: Изд-во ИНЭКА , 2006 - 475 с. 2. Н.М. Миназетдинов , А.С. Сафаров. Аналитическая геометрия на плоскости: Учебное пособие. Набережные Челны: Изд-во НЧИ К(П)ФУ, 2014 - 74 с. 3. Н.М. Миназетдинов , А.С. Сафаров. Аналитическая геометрия в пространстве: Учебное пособие. Набережные Челны: Изд-во НЧИ К(П)ФУ, 2014 - 67 с. 4. Зайниев Р.М. , Миназетдинов Н.М. , Сафаров А.С. Векторная алгебра и аналитическая геометрия: учебное пособие по математике для самостоятельной работы. Набережные Челны: Издательско-полиграфический центр НЧИ К(П)ФУ, 2015. - 88 с. 5. Габбасов Н.С. , Губочкина Н.И. , Зайниев Р.М. Вычисление пределов функции: методические указания и контрольные задания. - Наб.Челны: Из-ко полиграф. центр НЧИ КФУ, 2015 - 40 с. 6. Л.Ю. Грудцина , М.Я. Товштейн. Курс лекций по линейной алгебре: учебное пособие. фил. Казан. гос. ун-та. - Набережные Челны: Лаб. операт. полиграфии , 2007. - 58 с.

148