Завдання №4

Ще однією властивістю функції є оборотність, що дає змогу знайти обернену функцію к даній.

Оборотною функцією називається функція в якій кожному у відповідає єдиний х

Властивістю оборотності володіють функції що монотонні на всій області визначення. Нагадаємо, що монотонними називаються зростаючи або спадні функції (табл. 4)

Таблиця 4

Дамо поняття оберненої функції і визначимо як іі можна знайти.

Якщо функція f(x) набуває кожного свого значення в єдиній точці її області визначення, то можна задати функцію y=g(x), яка називається оберненою до функції y=f(x)

Функції f(x) і g(x) взаємно обернені

Властивості обернених функцій

Таблиця. 5

Для знаходження оберненої функції скористуємось наступним алгоритмом

1. З’ясувати чи буде функція оборотною на всій своїй області визначення (можна скористатися властивістю що кожна монотонна функція є оборотною а значить має обернену)

2. Розв’язати рівняння відносно х (з рівності виразити х через у)

3. Змінити позначення х на у і навпаки

Для приклада знайдемо обернені функції для лінійної та дробово- лінійної функції

Наприклад

І. Знайдіть функцію, обернену до у=2х+4

1. Графіком лінійної функції є пряма, тобто функція монотонна а значить оборотна.

2. Розв’яжемо рівняння відносно х

3. Позначимо в одержаній формулі аргумент за х, а функцію - через у.

Маємо функцію обернену до

ІІ. Знайдіть обернену до функції

1. Графіком заданої функції є гіпербола, тобто функція монотонна а за властивістю і оборотна на своїй ОДЗ.

2. . Помножимо обидві частини на знаменник.

Переносимо все доданки в один бік та відкриваємо дужки

Виносимо за дужки х та переносимо вільні доданки до правої частини

Поділимо праву частину на вираз у дужках

3. Змінюємо позначення х на у і навпаки

Маємо функцію обернену до

Приклад 4

Знайти обернену функцію

Розв’язання	Пояснення
1. монотонна=>оборотна 2. 3. Відповідь:	1. Графіком функції є гілка параболи відносно вісі Ох. Функція монотонна а значить і оборотна 2.. Розв’язуємо рівняння відносно х шляхом елементарних перетворень. 3. Змінюємо місцями х та у

Завдання №5

Однією з найвідоміших функцій є квадратична, графіком якої є парабола. Це один з перших графіків, який розглядається при вивченні побудови. Ще зі школи відомо ключові точки побудови графіка функції у=х²

Нагадаємо таблицю значень та функцій для заданої функції.

х	0	-1	1	-2	2	-3	3
у	0	1	1	4	4	9	9

Але в загальному вигляді для кожного набору коефіцієнтів необхідно виводити свою таблицю значень функцій. Згідно зі шкільною програмою існує певний алгоритм побудови графіка довільної квадратичної функції.

1. Знайти вершину параболи;

2. знайти точки перетину з осями координат;

3. обрахувати декілька контрольних точок

4. побудувати графік по знайденим точкам.

Це доволі кропітка праця що потребує багато часу, тому було запропоновано інший спосіб побудови графіку функцій використовуючи перетворення графіку функцій. Згадаємо які перетворення графіка існують.