1. Составляющие погрешности результата измерений

В процессе обработки результатов выделяют два вида погрешностей (две составляющие погрешности): случайную и систематическую. Обе эти составляющие должны быть выявлены и учтены на этапе разработки МВИ.

Случайные погрешности вызывают рассеяние (разброс) отдельных результатов измерений относительно среднего значения. Для численной оценки случайных погрешностей используют методы математической статистики, а именно – описание закономерностей поведения такого рода погрешностей при помощи функции нормального распределения. Используют два параметра этой функции: математическое ожидание  (среднее значение) и среднее квадратическое отклонение .

Систематические погрешности смещают результат измерений на определенную величину. Для их оценки необходимо, как правило, иметь опорное (эталонное) значение величины. Далее значение систематической погрешности следует сопоставить со случайной погрешностью (метод проверки статистической гипотезы). Если систематическая погрешность значима на фоне случайной, то МВИ требует доработки и уменьшения систематической погрешности. Незначимая систематическая погрешность рассматривается как неисключенная систематическая погрешность; ее статистически суммируют со случайной погрешностью.

Таким образом, погрешность результата измерения состоит из неисключенной систематической и случайной погрешностей.

Если систематическую погрешность не удается исключить (сделать незначимой) в работе над МВИ, то её используют как поправку к результату измерений (поправку прибавляют к результату с противоположным знаком).

2. Проверка соответствия распределения результатов измерений нормальному закону

В соответствии с правилами обработки результатов многократных измерений (ГОСТ 8.207) необходимо убедиться, что распределение результатов измерений подчиняется нормальному закону. Одним из распространенных методов такой проверки является графический метод – гистограмма. Для построения гистограммы требуется не менее 40…50 результатов измерений.

Пример построения гистограммы рассмотрен в учебном пособии «Основы метрологии», в приложении 1 показан пример построения гистограммы в редакторе MS EXCEL с использованием пакета анализа.

3. Наличие в результатах промахов

Иногда возникает необходимость проверить, является ли один из результатов Х_i промахом, т.е. наблюдается ли значительное его отличие от всей совокупности данных. Для этого можно использовать правило «трех сигм» (n25) или критерий Романовского (n25). При использовании критерия Романовского вычисляют отношение и сравнивают с табличным критерием _т (приложение 2). Если _т, то результата Х_i считают промахом и отбрасывают.

4. Точечная и интервальная оценка случайной погрешности. Доверительный интервал

При обработке результатов многократных измерений необходимо оценить значение случайной погрешности. Точечной оценкой случайной погрешности является среднее квадратическое отклонение (СКО), его также называют стандартным отклонением. СКО, вычисленное на основе небольшого числа измерений (n25), называют выборочным (S). При большом числе измерений определяют генеральное СКО ().

(1)

где  – математическое ожидание.

СКО среднего значения рассчитывают по формуле

или (2)

Точечная оценка результата измерений ( , S) обычно является промежуточной, она является характеристикой МВИ.

На основе СКО вычисляют интервальную оценку случайной погрешности , которая представляет собой доверительную границу случайной погрешности (доверительную погрешность) по одной из нижеуказанных формул в соответствии с тем, каким значением стандартного отклонения располагают (генеральным  или выборочным S).

или (3)

где t_p и t_p,f – квантили (границы) нормального распределения и распределения Стьюдента, соответственно.

Значения t_p,f определяют по числу степеней свободы f (f = n-1) и доверительной вероятности Р с помощью таблицы Стьюдента (приложение 3). Значение t_P находят как аргумент функции нормированного нормального распределения Ф(t) по приложению 4, используя формулу

Ф(t_р) = (4)

где Р – доверительная вероятность

Например, при заданной доверительной вероятности Р=0,95

Ф(t_р)= , из приложения 4 определяем t_0,95 =1,96.

Интервальная оценка результата измерения представляет собой доверительный интервал , внутри которого с заданной доверительной вероятностью находится истинное значение измеряемой величины¹.

Нижняя граница доверительного интервала: Х_Н= .

Верхняя граница доверительного интервала: Х_В= .

Отсюда доверительная погрешность равна

(5)

Интервальная оценка является непосредственно характеристикой результата измерений, ее используют для представления конечных результатов в технических измерениях.