Практичне заняття

Розв’язування задач на поширення хвиль в пружному середовищі.

Необхідно зрозуміти:

1. Механічна хвиля – це процес поширення механічних коливань у пружному середовищі. Хвиля не переносить частинки середовища, хвиля переносить енергію коливального руху.

2. Процес поширення коливань у пружному середовищі відбувається завдяки передаванню коливального руху від однієї частинки до іншої за рахунок сил взаємодії між частинками.

3. Частинки середовища мають масу і внаслідок цього – інертність. Тому навіть найближчі частинки коливаються з певною різницею фаз. Поширенню коливань відповідає переміщення в просторі фази коливань.

Треба вміти:

1. Виводити рівняння плоскої і сферичної хвиль, хвильове рівняння.

2. Виводити рівняння фазової швидкості.

Основні теоретичні положення. Механічні хвилі Загальне положення

Механічною хвилею називають процес поширення в пружному середовищі механічних коливань.. Розглянемо схему виникнення одновимірної пружної хвилі (рис 1). Нехай вздовж осі x розміщений ланцюжок матеріальних точок, кожна масою m, зв’язаних між собою силами. Умовно ці сили зображені у вигляді пружинок між частинками. Якщо частинку, яка стоїть на початку ланцюжка, почати зміщувати вгору, їх потягнуть пружинки. Але існує інерція, і тому зміщення частинок буде запізнюватись. Коли перша частинка досягне максимального відхилення від положення рівноваги, останні найближчі частинки відхиляться на меншу відстань, а до частинок, розміщених далі, вплив взагалі не дійде, і вони залишаться на своїх місцях. Легко зрозуміти, що якщо перша частинка здійснює гармонічні коливання, то й останні частинки с часом втягнуться в цей процес. Енергію для коливання вони будуть отримувати по ланцюжку від першої частинки, яку називають джерелом хвилі.

Хвильовий процес – це процес перенесення енергії.

Енергія послідовно передається від однієї частинки до іншої. Оскільки енергія на цьому шляху не втрачається, то кожна частинка почне здійснювати коливання з тією самою амплітудою, що й перша частинка – джерело, і з тією самою частотою. Різниця тільки в тому, що коливання різних частинок здійснюватиметься в різних фазах. Істотно, що частинки середовища не переносяться хвилею, а лише здійснюють гармонічні коливання біля положення рівноваги. Переноситься тільки енергія. Розрізняють хвилі поперечні і повздовжні. У поперечній хвиль напрям коливання перпендикулярний до напряму поширення хвилі. У повздовжній хвилі напрям коливань збігається з напрямом поширення хвилі. Поперечними є електромагнітні хвилі, повздовжніми – звукові. В рідинах і газах пружні сили виникають тільки під час стиску і не виникають під час зсуву. Тому поперечні хвилі у них не розповсюджуються, а поширюються тільки повздовжні хвилі. Поперечні пружні хвилі ідуть тільки в твердих тілах, де є зсувна пружність.

характеристики монохроматичної хвилі частота хвилі v; циклічна частота хвилі w = 2πv; період хвилі T = 2π/w = 1/v; амплітуда хвилі (A); фазова швидкість ; групова швидкість ; довжина хвилі λ; хвильовий вектор ; Значення величини, які характеризуються коливанням частинок v, w, T, , нам уже знайоме. Перейдемо до розгляду останніх, суто хвильових характеристик. Фазовою швидкістю поширення хвилі, або просто швидкістю хвилі, називають швидкість поширення енергії. З цією самою швидкістю поширюється в просторі фаза коливань. Це слід розуміти так. Нехай у момент часу tодна з точок, що коливається, досягла максимального відхилення. Інша точка, яка перебуває на відстані від неї, буде в такій самій фазі омег через деякий час . Тому і кажуть, що поширюється фаза коливань. Звідси і термін «фазова швидкість ». Фазова швидкість визначається властивостями середовища, а саме: пружними й інерціальними властивостями. Чим вища потужність, ти швидше «підтягуються» сусідні частинки. Чим більша густина, тобто маса частинок, тим більша інерція і тим більше запізнювання. Таким чином, фазова швидкість визначається відношенням сил потужності до сил інерції. Для повздовжніх хвиль у твердому тілі фазова швидкість визначається за формулою:

Де E - модуль пружності, або модуль Юнга;p – густина середовища. Не слід плутати фазову швидкість зі швидкістю коливань частинки, яка дорівнює першій похідній від зміщення за часом. Довжина хвилі – відстань, на яку поширюється фаза коливань за час, що дорівнює одному періоду коливань. Оскільки фаза переміщується з швидкістю і тоді

Із формули видно, що частинки, які містяться одна на одній на відстані, що дорівнює довжині хвилі коливаються в одній фазі. Точніше, різниця фаз дорівнює 2π.

Довжиною хвилі називають відстань між найближчими частинками, які здійснюють коливання в однаковій фазі.

Хвильовою поверхнею називають геометричне місце точок, які здійснюють коливання в однаковій фазі. Залежно від форми хвильової поверхні розрізняють хвилі плоскі, сферичні, циліндричні та інші. Форма хвильової поверхні визначається характеристиками джерела і властивостями середовища. Наприклад точкове джерело в однорідному середовищі утворює сферичну хвилю. Хвильовим фронтом називають «передову хвильову поверхню». Вона відокремлює простір в якому частинки коливаються, від простору, де частинки ще не втягнуті в процес коливань. Хвильовий фронт переміщується в просторі з фазовою швидкістю ν. Хвильовий вектор у даній точці простору напрямлений по нормалі до хвильової поверхні, вказує напрям поширення хвилі в цій точці. Модуль хвильового вектора дорівнює . Він називається хвильовим числом.

Оскільки або