Закони збереження та симетрія простору і часу

Закони збереження енергії, імпульсу і моменту імпульсу пов'язані з певними властивостями симетрії простору і часу. Під си­метрією простору розуміється однорідність та ізотропність просто­ру, а під симетрією часу — однорідність часу. Розглянемо ці понят­тя докладніше.

Простір однорідний. Це означає,що будь-яка точка простору може бути взята за початок відліку в інерціальній системі відліку, і фізичний процес від цього не зміниться.

Простір ізотропний. Це означає, що всі напрями у просторі рів­ноправні.

Час однорідний. Це означає, що перебіг фізичних процесів не за­лежить від вибору початкового моменту часу, усі моменти часу рів­ноправні.

Варто зазначити, що симетрія простору і часу не самоочевидна; вона є узагальненням дослідних фактів. Закон збереження енергії випливає з однорідності часу. Справді, плин часу сам по собі не мо­же викликати зміни фізичних станів замкненої системи, тобто змі­нити її енергію. Закон збереження імпульсу випливає з однорідності простору. Це означає, що переміщення замкненої системи у просто­рі не змінює її механічного стану. (Ця зміна може відбуватись тільки в результаті взаємодії даної системи з іншими тілами, але тоді вона перестане бути замкненою.) Аналогічно з ізотропності простору ви­пливає закон збереження моменту імпульсу, тобто поворот замкне­ної системи упросторі не змінює її механічних властивостей.

Як уже зазначалося, закони збереження посідають особливе міс­це серед усіх законів природи. Вони є основою важливих розрахун­ків як у фізиці, так і в техніці, часто дозволяють передбачати різні явища й ефекти. Загальні закони збереження є пробним каменем будь-якої фізичної теорії: несуперечливість щодо цих законів є най­важливішим критерієм її правильності. На сьогодні фізикам невідоме жодне явище, де порушувався б принаймні один із загальних законів збереження. Разом з тим не можна стверджувати, що з розширенням меж нашого розуміння природи зазначені закони або їх конкретні формулювання залишаться без змін. Абсолютизація цих законів, як і будь-яких інших, недопустима. Абсолютними є не закони збережен­ня, а мабуть, сама ідея збереження: жодна фізична теорія не може бути побудована без тих чи інших величин, що зберігаються.

Реактивний рух

Рух деяких тіл супроводжується зміцою їхньої маси. Наприклад, маса ракети зменшується за рахунок витікання газів, які утворюють­ся при згорянні палива. При вильоті їх в одному напрямі ракета отримує імпульс у протилежному напрямі. У цьому полягає фізич­ний зміст реактивного руху, який використовується в різноманітних літальних апаратах.

Виведемо рівняння руху ракети як тіла змінної маси. Розглянемо систему ракета—гази. Нехай у певний початковий момент часу і ма­са ракети разом із газами т, а її швидкість відносно Землі . Відпо­відно, імпульс системи ракети дорівнює

За часdtз ракети вилетіли гази масоюdт зі швидкісно відносно ракети (цю швидкість часто називають швидкістю газового струменя). У результаті цього маса ракети зменшилася на dm і стала дорівнювати т-dm, а швидкість збільшилася на і стала відносно Землі. Відповідно імпульс ракети буде дорівнювати а імпульс газів, що вилетіли, Звергаємо увагу,

що гази летять у протилежний від ракети бік, тому ставимо знак «-» перед . Запишемо тепер зміну імпульсу всієї системи, ракетач ази за часdt:

або

Розкривши дужки, дістанемо:

Проаналізуємо цей вираз у випадках, коли зовнішні сили діють на ракету (А) і,не діють на ракету (Б) (під зовнішніми силами розуміють гравітаційні сили притягання Сонця, Землі, планет, сили опору повітря та ін.).

А. Нехай на ракету діють зовнішні сили. Позначимо їх рівнодій- ну Р . Тоді за другим законом Ньютона

або, підставивши , дістанемо

Поділивши цей вираз на dt, запишимо

Цей вираз називаєтьсярівнянням Мещерського. Звернемо увагу, що в рівнянні Мещерського до зовнішньої сили додається векторна величина . Вона характеризує механічну дію на ракету частинок газу, що відокремлюються від неї, і називається реактивною силою:

Як бачимо, реактивна сила пропорційна до добутку маси газів, що відокремлюються за одиницю часу, і швидкості газового стру­меня. Здобута залежність є основою для розрахунку сили тяги реак­тивних двигунів усіх систем.

Б. Якщо на ракету зовнішні сили не діють (політ у космічному просторі на великій відстані від планет), то за законом збереження імпульсу і вираз перепишеться у вигляді:

Це означає, що ракета рухається тільки під дією реактивної сили. Визначимо, якої максимальної швидкості набуде при цьому ракета. Нехай початкова швидкість ракети дорівнює нулю, а її траєкторія — пряма лінія. Це означає, що вектори і протилежно напрямлені. Тому можна записати у скалярному вигляді:

Нехай стартова маса ракетиїї кінцева маса після повного ви­горяння палива масою т_п буде (т₀ — т_п). Тоді максимальну швид­кість ракети V_mах при зміні її маси відm₀ до m₀-m_n можна знайти інтегруванням виразу:

Вираз

називаєтьсяформулоюЦіолковського.Зацієюформулоюможнарозрахуватизапаспалива, необхіднийдлянаданняракетіпевноїшвидкостіv. Бачимо, щочимбільшашвидкістьгазовогоструменяи,тимбільшоюможе бути корисна маса ракети(m₀-m_П).

Удар

Взаємодія між тілами називається ударом, якщо:

• відбувається за дуже короткий час;

• внутрішні сили взаємодії настільки великі, що зовнішніми си­лами можна знехтувати і розглядати тіла, що співударяються, як зам­кнену систему.

Введемо такі умови:

• тіла до і після удару рухаються вздовж прямої, що проходить через 'шґій центр мас, тобто удар є центральним;

• тіла рухаються поступально (не обертаючись);

• сили тертя не враховуються.

Розглянемо два граничних випадки центрального удару — абсо­лютно пружний і абсолютно непружний удар.

1 .Абсолютно пружним називається удар, під час якого механіч­на енергія тіл, що співударяються, зберігається. Це означає, що та частина кінетичної енергії, яка під час удару перейшла в потенціа­льну енергію пружної деформації, після удару знову перетворюється в таку, що їй дорівнює, кінетичну енергію. Тому при абсолютно пружному ударі виконуються два закони: збереження механічної енергії та збереження імпульсу.

Нехай два абсолютно пружних тіла з масами ті і т₁ та m₂ рухаються вздовж осі х зі швидкостями відповідно та ( рис. 3.1а).Після абсолютно пружного удару вони набувають швидкостей відповідно та ( рис. 3.1б).

Рис. 3.1

Запишемо закон збереження механічної (а саме кінетичної) енер­гії та закон збереження імпульсу для цього випадку:

Розв'язокцієїсистемирівняньдаєтаківиразидляшвидкостейтілпісляудару:

Проаналізуємо ці вирази для окремих випадків:

а) маси тіл однакові , тоді

тобто під час удару тіла обмінюються швидкостями. Якщо ж до уда­ру одне тіло було нерухомим, то після удару нерухомим буде друге;

б) маса одного тіла значно більша за масу другого тіла (напри­клад .Тоді

Тобто швидкість масивного тіла практично не змінюється. Коли ж масивне тіло було нерухомим (наприклад стіна), то i , тобто тіло, що рухається, відскакує в протилежний бік з такою самою швидкісно.

2. Абсолютно непружним ударом називається зіткнення двох тіл, у результаті якого тіла об'єднуються і рухаються далі разом. Зрозу­міло, що в цьому випадку закон збереження механічної енергії не виконується кінетична енергія частково витрачається на деформа­цію), а закон збереження імпульсу — виконується.

Нехай до удару швидкості тіл з масами і були відповідно , а після удару обидва тіла почали рухатись разом зі швид­кістю й (рис. 3.2)

Рис. 3.2

Запишемо закон збереження імпульсу:

Звідси швидкість тіл після удару така:

Тобто якщо тіла рухались назустріч одне одному, то після удару вони будуть рухатись у той бік, куди рухалось тіло, яке мало біль­ший імпульс.