Контрольні питання
1 Сформулюйте задачу апроксимації функції.
2 Який багаточлен називають інтерполяційним?
3 Які точки називають вузлами інтерполяції?
4 В чому сутність методу найменших квадратів?
5 Чим відрізняється метод найменших квадратів від інтерполяції функцій?
6 Що характеризує коефіцієнт кореляції?
Вимоги до оформлення звіту
Звіт повинен містити: тему, номер роботи, мету роботи, повний опис послідовності виконання ходу роботи, відповіді на контрольні питання, висновки.
Література
Шаповаленко В.А. Чисельне обчислення функцій, характеристик матриць і розв’язування нелінійних рівнянь та систем рівнянь: Навч. посібник / Шаповаленко В. А., Буката Л. М., Трофименко О. Г. – Одеса: ВЦ ОНАЗ, 2010. – Ч. 1. – 88 с.
Лабораторна робота №4 Тема Знаходження інтегралів за допомогою чисельних методів
Мета: навчитись використовувати можливості MS Excel для знаходження інтегралів за допомогою чисельних методів
Теоретичні відомості
Розглянемо функцію f(x), що визначена на відрізку [a,b]. Функція, що диференціюється на відрізку [a,b] функцією F(x), похідна якої в кожній точці [a,b] дорівнює f(x), називається первісною функції f(x) та записується як:
F’(x)= f(x).
Так
як (F(x)+С)’=F’(x)=f(x) для будь-якої сталої
С, то можна говорити про множину первісних
– множину функцій виду F(x)+С. Множина
первісних F(x)+С функції f(x) називається
невизначеним інтегралом функції f(x) і
позначається
.
Розглянемо функцію f(x), що визначена на відрізку [a,b]. Розіб’ємо відрізок [a,b] на n довільних частин точками a=x0< x1< x2<…< xn-1< xn=b і позначимо i=1,...,n, .
Найпростіший метод наближеного обчислення інтеграла на ЕОМ є метод прямокутників, суть якого зводиться до знаходження визначеного інтегралу як суми площ N прямокутників (з висотою f(x) та основою), отриманих шляхом розбиття відрізка інтегрування [а, b] на n рівних частин. В цьому випадку розділити на прямокутники можна або зліва на право, тоді отримаємо формулу лівих прямокутників
або справа наліво, тоді отримаємо формулу правих прямокутників
Знаходження інтегралу за формулою прямокутників необхідно знайти середнє арифметичне значень лівих та правих прямокутників.
Схема алгоритму обчислення визначеного інтегралу методом прямокутників показана на рисунку.
Значення
похибки інтегрування методом прямокутників
можна оцінити за формулою
Метод трапецій
Суть методу трапецій полягає в тому, що інтеграл обчислюється таким чином: відрізок інтегрування [а, b] поділяється на N рівних відрізків, всередині яких підінтегральна крива f(x) замінюється кусково-лінійною функцією f(х), отриманою стягуванням ординат N відрізків [xi-1, xi] хордами.
Схема алгоритму методу трапецій
Значення
похибки інтегрування методом Сімпсона
можна оцінити за формулою
.
Щоб
похибка не перевищувала задане значення
ε, крок інтегрування слід обирати з
умови
Хід роботи
Обчислити значення інтегралу за формулою прямокутників, трапецій, Сімсона для n=8 (згдіно варіантів). Обчислити значення похибки в кожному з випадків.
1
2
3
4
5
2
Обчислити значення числа
Контрольні питання
1. На чому базується загальний підхід до чисельного інтегрування?
2. Особливість алгоритму методу прямокутників.
3. Особливість алгоритму методу трапецій. Як оцінити похибку отриманих результатів?
4. Алгоритм методу Сімпсона. Як оцінити похибку отриманих результатів?
5. В чому особливість квадратурних методів обчислення визначеного інтегралу на ЕОМ?
6. В яких випадках використовуються поліноміальні методи обчислення визначеного інтегралу на ЕОМ?
Вимоги до оформлення звіту
Звіт повинен містити: тему, номер роботи, мету роботи, повний опис послідовності виконання ходу роботи, знайдені похідні та їх максимальні значення на відрізку (при обчисленні похибок), відповіді на контрольні питання, висновки.
Література
Хвальків Н..С., Лапін А.В., Чижонков Е.В. Чисельні методи в завданнях і вправах. Учеб.пособие./Под ред. В.А.Садовничего. – М.: Вища школа, 2000.
Шаповаленко В.А. Чисельне обчислення функцій, характеристик матриць і розв’язування нелінійних рівнянь та систем рівнянь: Навч. посібник / Шаповаленко В. А., Буката Л. М., Трофименко О. Г. – Одеса: ВЦ ОНАЗ, 2010. – Ч. 1. – 88 с.