4. Содержание разделов и методические указания по их выполнению.
4.1. Построение гистограммы распределения показателя качества.
Для построения гистограммы заданную в качестве исходных данных выборку показателей качества xi (статистический ряд) разбивают на r (от 10 до 16) интервалов. Величина интервала определяется по формуле Стэрджеса
h
=
(1)
где h –значение величины интервала параметра качества;
x max , x min – соответственно максимальное и минимальное значения показателя качества, определяемое по данным табл. 1;
n – число значений показателя качества.
Для полученного значения величины интервала определяется число значений niэ показателей качества в каждом из r интервалов, а результаты заносятся в табл.2.2.
Таблица.2.2
Ранжирование выборки по интервалам
-
Xi
x min+h
x min+2h
….
….
….
x min+ i*h
….
….
….
x min+(r-1)*h
x min+ r*h
niэ
n1э
n2э
niэ
nr-1э
nrэ
Значение x min+ r*h может быть ≥ x max .
В первый интервал (от x min до x min+h) заносится число значений параметров качества, соответствующих границам первого интервала, во второй интервал (от x min+h до x min+2h) - соответственно число значений, соответствующих границам этого интервала и т.д. Параметр качества, значение которого равно границе интервала, считается принадлежащим интервалу, находящемуся ближе к среднему интервалу.
По определенному (табл. 2.2) ранжированию выборки строится гистограмма распределения показателей качества (рис.2.1).
n
xi
Рис.2.1. Гистограмма распределения характеристик неразрушающего контроля .
4.2. Проверка предполагаемого закона распределения заданного статистического ряда показателя качества.
Проверка согласия предполакаемого нормального закона распределения с законом распределения заданного статистического ряда выполняется по критерию хи-квадрат. Расчет для проверки согласия производится по формулам (2)-(8).
Определяется объем выборки
n=
(2)
Определяется среднее значение выборки
x
ср =
/
(3)
Определяется значение дисперсии
s2
=
* niэ
/ (n-1) (4)
Здесь
Δxi = xi ср - x ср (5),
Где: xi ср - значение середины каждого принятого интервала,
r – принятое число интервалов.
Значения величины плотности вероятности нормального закона распределения φί в зависимости от значения аргумента Δxi /s определяется по табл..2.3. Для повышения точности выполняемых расчетов промежуточные значения φί следует определять линейной интерполяцией их табличных величин.
Таблица 2.3
Плотность вероятности нормального распределения.
-
Δxi /s
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
1,0
1,1
φί
0,3989
0,3970
0,3910
0,3814
0,3683
0,3581
0,3332
0,3123
0,2897
0,2420
0,2179
Δxi /s
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
φί
0,1942
0,1714
0,1497
0,1295
0,1109
0,0940
0,0790
0,0656
0,0540
0,0440
0,0355
Δxi /s
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,2
3,5
4,0
φί
0.0283
0,0224
0,0175
0,0140
0,0105
0,0079
0,0059
0,0044
0,0027
0,0009
0,0001
Вычисляются значения
(6)
теоретического объема выборки
(7)
Определяются значения коэффициентов
(8)
Результаты расчетов проверки согласия по критерию хи-квадрат представляются в форме табл.2.4.
Таблица.2 4
-
xi ср
niэ
xi ср *niэ
Δxi
Δxi 2
Δxi 2* niэ
Δxi /s
φί
fί
niт
niт - niэ
βί
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
При вычислении оценки согласия по критерию хи-квадрат крайние интервалы, содержащие менее пяти значений показателя качества, необходимо объединять.
Затем вычисляется значение
(9)
Здесь k – число степеней свободы, определяемое из соотношения
K=r–1–c (10)
Где c – число параметров закона распределения. Для нормального закона распределения c =2.
Полученное значение y сравнивается с табличным значением (см. табл. 2.5) распределения хи-квадрат при небольшом (порядка 0,1) значении доверительной вероятности α.
Таблица 2.5.
Значение y распределения хи-квадрат.
-
K
α.
0,010
0,025
0,050
0,100
0,200
0,300
10
0,256
0,325
0,394
0,487
0,618
0,727
11
0,278
0,347
0,416
0,507
0,635
0,741
12
0,298
0,367
0,436
0,525
0,651
0,753
13
0,316
0,385
0,453
0,542
0,664
0,764
14
0,333
0,402
0,469
0,556
0,676
0,773
15
0,349
0,418
0,484
0,570
0,687
0,781
16
0,363
0,432
0,498
0,582
0,697
0,789
В тех случаях, когда табличное значение величины y больше вычисленного по формуле (9), согласие экспериментально полученных значений заданного статистического ряда с предполагаемым нормальным законом распределения может считаться хорошим. По результатам проверки по критерию хи-квадрат делается вывод о характере согласия (хорошее или плохое).
Производится проверка согласия предполагаемого закона распределения по критерию Колмогорова. Вычисления выполняются по форме табл. 2.6, в которую заносятся конечные значения интервалов xiк и количество значений параметра в каждом интервале nί. Затем определяется экспериментальная частость появления параметра качествав каждом интервале nί / n, после чего вычисляется накопленная экспериментальная ча
(11)
Определяется накопленная теоретическая частость как функця от (xiк- x ср ) / s по табл. 6
(12)
Здесь
-
функция нормального распределения,
определенная по табл.6для центрованного
статистического ряда.
Таблица 2.6
Значение функции Fт нормального распределения
-
(xiк- x ср ) / s
0,00
0,05
0,01
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
Fт
0,5000
0,5199
0,5398
0,5793
0,6179
0,6554
0,6915
0,7257
0,7580
0,7881
(xiк- x ср ) / s
0,90
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
1,60
1,70
1,80
Fт
0,8159
0.8413
0,8631
0,8849
0,9020
0,9192
0,9322
0,9452
0,9555
0,9641
(xiк- x ср ) / s
1,90
2,00
2,10
2,20
2,40
2,60
2,80
3,00
3,50
4,00
Fт
0,9706
0,9772
0,9816
0,9861
0,9918
0,9953
0,9974
0,9986
0,9998
0,9999
Затем определяется абсолютное значение разницы накопленной и экспериментальной частости
ΔF=| Fэj - Fтj| (13)
Расчет выполняется по форме табл. 2.7.
Таблица 2.7
Проверка по критерию Колмогорова
-
xiк
nί
nί / n
Fэj
(xiк- x ср ) / s
Fтj
ΔF
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Из всех полученных значений ΔF выбирается максимальное значение исопоставляется с табличным (табл. 2.8) или вычисленном по формулам (14 или 15).
Таблица 2.8
Значения критерия Колмогорова ΔF
-
n
α
0,8
0,9
20
0,232
0,265
50
0,148
0,170
80
0,118
0,135
100
0,106
0,121
Для значений n>100
ΔF0
=1,07
при α=0,8 и
ΔF0
= 1,22 при α=0,9
Согласие заданного статистического ряда с теоретическим законом нормального распределения считается плохим, если вычисленное эмпирическое значение критерия Колмогорова больше теоретического, т.е. ΔFmax > ΔF0.При определении согласия по критерию Колмогорова вероятность α следует брать не менее 0,8. При меньших значениях α заранее планируется малая вероятность события, что свидетельствует о плохом согласии с предполагаемым нормальным законом распределения.
По выполненным расчетам строятся гистограмма, теоретическая и экспериментальная плотности распределения (рис.2.2), интегральные функции теоретическая и экспериментальная по данным табл. 2.6 (рис.2.3).Экспериментальные значения наносятся в виде отдельных точек. На графиках (см. рис.2.2 и рис.2.3) необходимо указать значения x ср, s, ΔFmax.
Рис.2.2. Гистограмма, теоретическая и экспериментальная плотности
нормального распределения
Рис. 2.3. Интегральные функции (теоретическая и экспериментальная).