2.4. Сложение целых чисел

Сумма целых чисел а и b (b ≠ 0) есть целое число с, отстоящее в ряду целых чисел от а на чисел вправо, если b > 0, и влево, если b < 0.

При этом числа а и b называют слагаемыми и пишут:

с=а + b.

Примечание. При а > 0 и b > 0 этим определением мы уже пользовались, когда определяли сложение натуральных чисел.

Пример 1. Определим сумму (+3) + (+8).

Решение. Так как +8 > 0 и , то от числа +3 в ряду целых чисел отсчитаем вправо 8 чисел и получим число +11.

Таким образом, (+3) + (+8) = +11.

Пример 2. Определим сумму (–3) + (–8).

Решение. Так как –8 < 0 и , то от числа –3 в ряду целых чисел отсчитаем влево 8 чисел и получим число –11.

Таким образом,

Рассмотренные примеры подтверждают правило: чтобы сложить два числа одинаковых знаков, надо сложить их модули и поставить перед суммой знак слагаемых.

Еще раз подчеркнем, что сумма положительных чисел есть число положительное, а сумма отрицательных чисел есть число отрицательное.

На основании этого правила имеем:

.

Пример 3. Определим сумму .

Решение. Так как +8 > 0 и , то от числа –3 в ряду целых чисел отсчитаем вправо 8 чисел и получим число +5.

Таким образом, (–3) + (+8) = +5.

Заметим, что модуль положительного слагаемого больше модуля отрицательного слагаемого и сумма положительное число, равное .

Пример 4. Определим сумму

Решение. Так как –8 < 0 и , то от числа +3 в ряду целых чисел отсчитаем влево 8 чисел и получим число –5.

Таким образом, .

Здесь модуль отрицательного слагаемого больше модуля положительного слагаемого и сумма отрицательное число, равное .

Рассмотренные примеры подтверждают правило: чтобы сложить два числа разных знаков и с разными модулями, надо из большего модуля вычесть меньший и перед разностью поставить знак слагаемого с большим модулем.

На основании этого правила имеем:

, так как

, так как

Пример 5. Определим сумму (+5) + (–5).

Решение. Так как –5 < 0 и , то от числа (+5) в ряду целых чисел отсчитаем влево 5 чисел, получим число 0.

Таким образом, (+5) + (–5) = 0.

Этот пример подтверждает правило: сумма противоположных чисел равна нулю.

а + (–а) = 0.

Ha основании этого правила имеем:

(+3) + (–3) = 0, (–7) + (+7) = 0.

Для любого целого числа а:

а + 0 = а, 0 + а = а.

Например, 0 + (–3) = –3; (+5) + 0= + 5; 0 + 0 = 0/

2.5. Законы сложения целых чисел

Для любых целых чисел а и b выполняется переместительный закон сложения: сумма двух целых чисел не зависит от порядка слагаемых:

a + b = b + а.

Переместительный закон сложения для целых чисел следует из правил сложения целых чисел и справедливости переместительного закона сложения для натуральных чисел.

Например, суммы –3 + (–5) и –5 + (–3) отрицательные, чтобы найти модуль каждой из этих сумм, надо сложить модули слагаемых: 3 + 5 и 5 + 3, а на основании переместительного закона для натуральных чисел эти суммы равны. Следовательно, – 3+( –5)= –5+(–3).

Для любых целых чисел a, b и с справедлив сочетательный закон сложения: чтобы к сумме двух целых чисел прибавить третье целое число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего – результат будет тот же:

(а + b) + с = а + (b + с).

Справедливость этого закона следует из правил сложения целых чисел и справедливости сочетательного закона сложения для натуральных чисел.

Например,

(2 + 5) + (–3) = 2 + (5 + (–3)).

В справедливости этих законов можно убедиться и с помощью ряда целых чисел.

С помощью переместительного и сочетательного законов сложения можно показать, что сумму нескольких целых слагаемых:

1) можно записывать без скобок,

2) любые слагаемые в ней можно менять местами,

3) некоторые слагаемые в ней можно заключать в скобки.

Например, верно равенство

a + b + c + k = (c + k) + (a + b).

Докажем это:

a + b + c + k = (a + b + c) + k = k + (a + b + c) = k + ((a + b) + c) = = k + (c + (a + b)) = (k + c) + (a + b) = (c + k) + (a + b).

Приведенные выше правила применяются для упрощения вычислений. Например, 3 + (–6) + (–4) + 6 + (–5) + 4 = (3 + (–5)) + ((–6) + 6) + (4 + (–4)) = = –2 + 0 + 0 = –2.