Тематические обзоры по курсу элементарной математики

Составитель В.Г.Ермаков

Тема I. Числовые системы

1. Натуральные числа 1

1.1. Ряд натуральных чисел

Еще в глубокой древности потребности обмена, торговли, скотоводства и т. п. привели людей к необходимости уметь считать предметы.

Числа, которые используют при подсчете предметов, называют натуральными числами.

Таким образом, числа: один, два, три, ... , десять, ... , сто, ... , тысяча, ... , миллион, ... , миллиард, ... – натуральные числа.

Натуральные числа

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ... ,

записанные в порядке возрастания и без пропусков, образуют натуральный ряд, или ряд натуральных чисел.

На первом месте в натуральном ряду стоит число 1, за ним следует число 2, затем число 3 и так далее.

В натуральном ряду есть первое число 1, но нет последнего числа – за каждым натуральным числом следует еще одно натуральное число, большее предшествующего на единицу. Поэтому все натуральные числа записать невозможно, и при записи натурального ряда выписывают подряд несколько первых чисел, после которых ставят многоточие (три точки).

Отсутствие предметов для счета условились обозначать числом нуль.

Нуль не считают натуральным числом.

1.2. Десятичная система записи натуральных чисел

Практическая деятельность потребовала от человека умения не только считать, но и умения записывать числа. В старину для записи натуральных чисел использовались и особые рисунки, и черточки, и буквы, и т. п. В настоящее время принята десятичная система записи чисел (десятичная система счисления), в которой числа записывают при помощи десяти знаков:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Эти знаки называют цифрами.

При этом одна и та же цифра имеет различное значение в зависимости от того места (позиции), где она расположена в записи числа. Например, в записи числа 777 первая справа цифра 7 означает семь единиц, вторая – семь десятков, третья – семь сотен.

Поэтому десятичную систему счисления называют позиционной.

1.3. Сравнение натуральных чисел

Числа можно сравнивать при помощи натурального ряда.

Из двух натуральных чисел больше то, которое в ряду натуральных чисел стоит правее (дальше от начала).

Если a, b, c – натуральные числа и число b в ряду натуральных чисел находится правее числа а, а число с находится правее числа b, то из этого следует, что число с находится правее числа а, то есть из а < b и b < с следует, что а < с.

В таких случаях пишут: а < b < с и говорят: «b больше а, но меньше с». Если числа а и b равны, то пишут а = b.

Каждое натуральное число а больше нуля; это записывают так:

а > 0.

Число, большее нуля, называют положительным.

Поэтому натуральные числа называют еще целыми положительными числами. Число нуль также целое, но не положительное число.

Натуральные числа и число нуль называют еще целыми неотрицательными числами, так как кроме неотрицательных чисел есть еще и отрицательные числа. О них будет сказано ниже.

Если к ряду натуральных чисел приписать слева число 0, то получится ряд неотрицательных целых чисел:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ... .