Задание

Вариант 1

Задача 1. Найдите общее решение дифференциального уравнения: а) , б) .

Задача 2. Найдите частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию: , если y = 3, y′ = 0 при х = 0.

Вариант 2

Задача 1. Найдите общее решение дифференциального уравнения: а) , б) .

Задача 2. Найдите частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию: , если y = 4, y′ = 10 при х = 0.

Вариант 3

Задача 1. Найдите общее решение дифференциального уравнения: а) , б) .

Задача 2. Найдите частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию: , если y= 1 и y΄= 1 при х = 0.

Вариант 4

Задача 1. Найдите общее решение дифференциального уравнения: а) , б) .

Задача 2. Найдите частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию: , если y= 2 и y΄= 9 при х = 0.

Вариант 5

Задача 1. Найдите общее решение дифференциального уравнения: а) , б) .

Задача 2. Найдите частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию: , если y = 1 и y΄= 1 при х = 0.

Вариант 6

Задача 1. Найдите общее решение дифференциального уравнения: а) , б) .

Задача 2. Найдите частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию: , если y= 1 и y΄= 5 при х = 0.

Содержание отчёта

Отчёт о проделанной работе должен содержать:

• название темы практического занятия;

• цели практического занятия;

• условие задачи;

• подробное решение задачи;

• ответ.

Контрольные вопросы

1. Каков алгоритм решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка?

2. Каков алгоритм решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами?

3. Что является решением дифференциального решения?

4. Как находят частное решение дифференциального уравнения?

Литература:

1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: «Высшая школа» 2002. с. 248 – 255

2. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Математика. - Ростов-на-Дону: «Феникс» 2011.- с. 167 – 174.

Практическое занятие № 9

Решение прикладных задач

Цели: в результате выполнения практической работы, обучающиеся должны уметь по условию задачи составлять дифференциальные уравнения, выбирать метод решения дифференциального решения, находить общее или частное решение.

Пояснения к работе

Дифференциальные уравнения относятся к классу функциональных, когда неизвестной является функция, причем в записи уравнения эта функция находится под знаком производной. Дифференциальные уравнения имеют большое прикладное значение, с их помощью можно описывать (моделировать, изучать) процессы. Производная некоторой функции есть скорость изменения этой функции. Поэтому дифференциальные уравнения могут моделировать химические реакции, рост растений, изменение численности бактерий и популяций животных, перетекание тепла, энергии и т.д.

Например, известный второй закон Ньютона фактически представляет дифференциальное уравнение второго порядка .

При решении практических задач составляют дифференциальное уравнение в котором связаны искомая функция, независимая переменная и производная этой функции. Которое решают одним из известных методом.

Например, скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха. Температура воздуха равна С. Известно, что в течении20 мин. Тело охлаждается от С до С. В течение какого времени тело охладится до температуры ?

Решение. Скорость охлаждения есть скорость изменения температуры со временем и поэтому выражается в виде производной , где через Т обозначена температура тела, а через t – время.

С другой стороны, на основании закона охлаждения, данного в задаче, скорость тела может быть представлена выражением , где k – коэффициент пропорциональности.

Приравнивая два выражения, определяющих скорость охлаждения тела, приходим к дифференциальному уравнению . Разделим переменные: . Интегрируя почленно, получаем: , или , , . Найдем значения С и k, мы знаем, что при t = 0 температура тела T = . Подставляя эти значения, получаем: , т. е. . Следовательно, . Нам известно, что в течение 20 мин. Тело охлаждается до , т.е. при температура . Имеем: , , , , , , т.е. , , .

Чтобы ответить на вопрос, поставленный в задаче, надо пользуясь найденной функцией, описывающей зависимость температуры тела от времени, надо найти t при Т = , т.е. решить уравнение: , , , . Ответ: 60 мин.

Составить уравнение кривой, проходящей через точку М(2; -1) и имеющей касательную с угловым коэффициентом .

Решение. Согласно условию, имеем , или . Проинтегрировав, получим , . С учетом начальных условий и , находим , С = – 7. Следовательно, уравнение кривой имеет вид . Ответ: .