Предисловие уважаемые студенты!

Методические указания для обучающихся по проведению практических занятий по учебной дисциплине «Математика» созданы вам в помощь для работы на занятиях, правильного составления отчётов. Приступая к выполнению задания, вы должны внимательно прочитать цели, ознакомиться с пояснениями к работе, содержащими краткие теоретические сведения по теме работы и методические рекомендации, ответить на контрольные вопросы.

Практическое занятие содержит задание, состоящее из шести вариантов, включающих задачи, соответствующие указанным в ФГОС требованиям к уровню вашей подготовки. Выполнять задание, делать выводы по проделанной работе вы должны согласно инструкции преподавателя.

Отчёт о работе вы должны оформить по приведённому образцу.

Наличие положительных оценок по практическим занятиям необходимо для допуска к экзамену по учебной дисциплине «Математика.». В случае отсутствия на учебном занятии по любой причине или получения неудовлетворительной оценки за практическое занятие вы должны выполнить работу или пересдать.

ВНИМАНИЕ! В результате выполнения заданий практических занятий по УД «Математика» вы освоите умения

• решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности,

на основе знаний:

– значения математики в профессиональной деятельности и при освоении профессиональной образовательной программы;

• основных математических методов решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;

• основных понятий и методов математического анализа, линейной алгебры, теории комплексных чисел, теории вероятностей и математической статистики;

• основ интегрального и дифференциального исчисления.

Желаем вам успехов!

Практическое занятие № 1

Действия над комплексными числами в различных формах

Цели: в результате выполнения практической работы, обучающиеся должны уметь выполнять действия над комплексными числами в алгебраической, тригонометрической и показательной формах, уметь переходить от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической, показательной и обратно.

Пояснения к работе

Комплексными числами называют числа вида a + bi, где a и b – действительные числа, а число i, определяемое равенством , называется мнимой единицей; а называют действительной частью комплексного числа, b – его мнимой частью.

Модулем комплексного числа называют число . Модуль комплексного числа – неотрицательное действительное число, причем тогда и только тогда, когда .

Угол φ между положительным направлением оси Ох и вектором , называют аргументом комплексного числа . Для числа аргумент не определен.

Введение мнимой единицы позволило вычислять корень квадратный из отрицательного числа. Так , так как . Значит можно решить квадратное уравнение, которое имеет отрицательный дискриминант.

Рассмотрим решение квадратное уравнение , , , . Ответ: .

Запись комплексного числа z = a + bi называют алгебраической формой записи комплексного числа.

Тригонометрическая форма записи комплексного числа: , показательная форма записи комплексного числа: , аналогично, , φ – одно из значений аргумента.

Для представления комплексного числа в тригонометрической или показательной форме надо: 1) найти модуль этого числа ; 2) одно из значений аргумента φ.

Знаки действительной и мнимой части комплексного числа	Четверть, в которой находится данное комплексное число	Значение аргумента данного комплексного числа
,
		или
,	Число лежит на положительной части оси абсцисс
,	Число лежит на отрицательной части оси абсцисс
	Число лежит на положительной части оси ординат
	Число лежит на отрицательной части оси ординат

Представить в тригонометрической и показательной форме числа:

1) . Решение: , . Значит, . Найдем . Поскольку , т. к. и , то . Поэтому, – тригонометрическая форма комплексного числа, – показательная форма комплексного числа.

Для того, чтобы сложить или вычесть комплексные числа надо раскрыть скобки и привести подобные, например: (-2+3i) + (5+2i) = (-2+5)+(3+2)i = 3+5i. 2. (-2+3i) - (5+2i) = (-2-5)+(3-2)i= -7+i.

Можно произвести умножение по правилу умножения многочленов, учесть, что , и привести подобные члены. Так .

Деление можно выполнить умножив числитель и знаменатель на число сопряженное знаменателю, например: .

Произведение сопряженных комплексных чисел – число действительное и неотрицательное, равное сумме квадратов действительной и мнимой части числа .

Умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня удобно выполнять в тригонометрической или показательной формах.

Дано: два комплексных числа и	Тригонометрическая форма	Показательная форма
Произведение чисел
Частное чисел
Возведение в степень
Извлечение корня	, где k = 0,1,…,n-1	, где k = 0,1,…,n-1

Задание

Вариант 1

Задача 1. Найдите корни уравнения и изобразите их на комплексной плоскости:

Задача 2. Выполните действия над комплексными числами: а) ; б) ; в) .

Вариант 2

Задача 1. Найдите корни уравнения и изобразите их на комплексной плоскости:

Задача 2. Выполните действия над комплексными числами: а) ; б) ; в) .

Вариант 3

Задача 1. Найдите корни уравнения и изобразите их на комплексной плоскости:

Задача 2. Выполните действия над комплексными числами, в пункте в ответ запишите в алгебраической, тригонометрической и показательной формах: а) ; б) ; в) ; г) .

Вариант 4

Задача 1. Найдите корни уравнения и изобразите их на комплексной плоскости:

Задача 2. Выполните действия над комплексными числами, в пункте в ответ запишите в алгебраической, тригонометрической и показательной формах: а) ; б) ; в) ; г) .

Вариант 5

Задача 1. Найдите корни уравнения и изобразите их на комплексной плоскости:

Задача 2. Выполните действия над комплексными числами, в пункте в ответ запишите в алгебраической, тригонометрической и показательной формах: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Вариант 6

Задача 1. Найдите корни уравнения и изобразите их на комплексной плоскости:

Задача 2. Выполните действия над комплексными числами, в пункте в ответ запишите в алгебраической, тригонометрической и показательной формах: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .