Определенный интеграл.

Пусть функция определена на отрезке . Разобьем этот отрезок на n частей точками . Выберем на каждом элементарном отрезке произвольную точку , и вычислим значение функции в точках – . Обозначим длину каждого элементарного отрезка через . Интегральной суммой для функции на отрезке называют сумму вида .

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a; в] называют предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю

.

Если функция f(x) непрерывна на [a;b], то предел интегральной суммы всегда существует и не зависит от способа разбиения отрезка [a;b] на элементарные отрезки и от выбора точек .

Для вычисления определенного интеграла от функции в том случае, когда можно найти соответствую первообразную данной функции , служит формула Ньютона - Лейбница , т. е. определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Основные свойства определенного интеграла.

1. 2. ; 3. ; 4. ; 5. 6. , где ;

Вычислить определенный интеграл

.

Вычисление определенного интеграла методом замена переменной.

При вычислении определенного интеграла методом замены переменной (способом подстановки) определенный интеграл преобразуется с помощью подстановки в определенный интеграл относительно новой переменной t – . При этом старые пределы интегрирования а и b заменяются соответственно новыми пределами интегрирования и . Таким образом, имеем = .

Например,

1) .

2) .

Задание.

Вариант 1

Задача 1. Найдите следующие интегралы: а) ; б) .

Задача 2. Вычислите следующие определенные интегралы: а) ; б) ; в) .

Вариант 2

Задача 1. Найдите следующие интегралы: а) ; б) .

Задача 2. Вычислите следующие определенные интегралы:

а) ; б) ; в) .

Вариант 3

Задача 1. Найдите следующие интегралы: а) ; б) .

Задача 2. Вычислите следующие определенные интегралы:

а) ; б) ; в) .

Вариант 4

Задача 1. Найдите следующие интегралы: а) ; б) .

Задача 2. Вычислите следующие определенные интегралы:

а) ; б) ; в) .

Вариант 5

Задача 1. Найдите следующие интегралы: а) ; б) .

Задача 2. Вычислите следующие определенные интегралы:

а) ; б) ; в) .

Вариант 6

Задача 1. Найдите следующие интегралы: а) ; б) .

Задача 2. Вычислите следующие определенные интегралы:

а) ; б) ; в) .

Содержание отчёта

Отчёт о проделанной работе должен содержать:

• название темы практического занятия;

• цели практического занятия;

• условие задачи;

• подробное решение задачи;

• ответ.

Контрольные вопросы

1. Какие методы интегрирования вы применяли при нахождении и вычислении интегралов?

2. Какими свойствами неопределенного и определенного интегралов вы пользовались при нахождении производных функций?

3. Какими формулами интегрирования вы пользовались при нахождении и вычислении интегралов?

4. Как называют операцию нахождения первообразной функции?

Литература:

1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: «Высшая школа» 2002. с. 188 –210.

2. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Математика. - Ростов-на-Дону: «Феникс» 2011.- с.138 – 157.

Практическое занятие № 6

Приложение неопределённых и определенных интегралов

Цели: в результате выполнения практической работы, обучающиеся должны уметь по известной функции скорости составлять закон движения материальной точки и применять определенные интегралы для нахождения площади плоской фигуры, для вычисления пути.

Пояснения к работе

Геометрический смысл определенного интеграла

Определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y=f(x), с боков прямыми: x=a и x=b и снизу отрезком [a;b] оси Ox.

Значит, площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x), прямыми: x=a и x=b и отрезком [a;b] оси Ox, вычисляется по формуле .

Площадь фигуры, ограниченной кривыми и и прямыми и , находится по формуле .

План вычисления площади плоской фигуры:

1. Построить графики линий, ограничивающих фигуру.

2. Найти пределы интегрирования.

3. Вычислить соответствующий определенный интеграл.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Решение. Данная фигура ограничена параболой и прямой .Найдем точки пересечения заданных линий, решив уравнение . Корки уравнения . Используя определенный интеграл, вычислим площадь фигуры (кв. ед.)

Путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью на промежутке от до вычисляется по формуле .

Скорость точки м/с. Найти путь пройденный точкой за 4-ю секунду.

Решение. По условию , . Следовательно, (м).

Задание

Вариант 1

Задача 1. Скорость прямолинейного движения точки задана формулой м/с. Найдите закон движения точки, если в момент времени с она находилась на расстоянии 33м от начала движения.

Задача 2. а).Вычислите путь, пройденный телом за три секунды, за вторую секунду, если скорость тела выражается формулой ;

б). Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: , .

Вариант 2

Задача 1. Скорость прямолинейного движения точки задана формулой м/с. Найдите закон движения точки, если в момент времени с она находилась на расстоянии 8м от начала движения.

Задача 2. а). Вычислите путь, пройденный телом за три секунды, за вторую секунду, если скорость тела выражается формулой ;

б). Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: , .

Вариант 3

Задача 1. Точка движется прямолинейно с ускорением . В момент времени ее скорость равнялась 15 м/с. Найдите закон изменения скорости точки.

Задача 2. а). Вычислите путь, пройденный телом за три секунды, за вторую секунду, если скорость тела выражается формулой ;

б). Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: , .

Вариант 4

Задача 1. Точка движется прямолинейно с ускорением . В момент времени ее скорость равнялась 40 м/с. Найдите закон изменения скорости точки.

Задача 2. а). Вычислите путь, пройденный телом за три секунды, за вторую секунду, если скорость тела выражается формулой ;

б). Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: , .

Вариант 5

Задача 1. Точка движется прямолинейно с ускорением . В момент времени ее скорость равнялась 15 м/с, а пройденный путь 20м. Найдите закон движения точки.

Задача 2. а) Вычислите путь, пройденный телом за три секунды, за вторую секунду, если скорость тела выражается формулой ;

б) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: , .

Вариант 6

Задача 1. Точка движется прямолинейно с ускорением . В момент времени ее скорость равнялась 40 м/с, а при путь . Найдите закон движении точки.

Задача 2. а) Вычислите путь, пройденный телом за три секунды, за вторую секунду, если скорость тела выражается формулой ;

б) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: , .

Содержание отчёта

Отчёт о проделанной работе должен содержать:

• название темы практического занятия;

• цели практического занятия;

• условие задачи;

• подробное решение задачи;

• ответ.

Контрольные вопросы

6. Как вычислить площадь плоской фигуры?

7. Как по известной скорости находить пройденный путь?

8. Как находить закон движения точки, если известна скорость или ускорение?

Литература:

1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: «Высшая школа» 2002. с. 196, 212 –220.

2. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Математика. - Ростов-на-Дону: «Феникс» 2011.- с. 146, 152 – 157.

Практическое занятие № 7

Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными и однородных уравнений первого порядка

Цели: в результате выполнения практической работы, обучающиеся должны уметь разделять переменные, сводить однородное дифференциальное уравнение первого порядка к уравнению с разделяющимися переменными; находить частное решение дифференциального уравнения.

Пояснения к работе

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называют дифференциальное уравнение первого порядка вида .

Если перейти к дифференциалам ( ), то это уравнение примет вид . Умножив обе части уравнения на dx, получим уравнение . Если разделить последнее уравнение на , то получим уравнение с разделенными переменными , проинтегрировав которое получим общий интеграл .

Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение: перейдем в данном уравнении к дифференциалам . Перенесем слагаемое х в правую часть уравнения . Умножим обе части уравнения на dx, получим уравнение с разделенными переменными . Проинтегрируем обе части уравнения . Найдем интегралы: . Если обозначить , то получим уравнение . Умножив обе части на 2, получим общее решение . Ответ: .

Однородным дифференциальным уравнением первого порядка называют дифференциальное уравнение (ДУ) вида .

Это уравнение приводят к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой функции, выполнив следующую замену или . Тогда и, после подстановки в исходное уравнение полученных выражений, уравнение примет вид . Это уравнение с разделяющимися переменными, разделим переменные ; . Интегрируя, получим общий интеграл относительно переменных и . Затем необходимо вернуться к прежним переменным.

Например, найти общее решение ДУ: . Обозначим или . Тогда и уравнение примет вид ; ; . Интегрируя, получим ; ; . Вернёмся к прежним переменным . Ответ: .