Задание

Вариант 1

Задача 1. Найдите производные функций: а) ; б) .

Задача 2. Вычислите значение производных заданных функций в указанных точках: а) , ; б) , ; в) , ;

Вариант 2

Задача 1. Найдите производные функций: а) ; б) .

Задача 2. Вычислите значение производных заданных функций в указанных точках: а) , ; б) , ; в) , .

Вариант 3

Задача 1. Найдите производные функций: а) ; б) .

Задача 2. Вычислите значение производных заданных функций в указанных точках: а) , ; б) , ; в) , .

Вариант 4

Задача 1. Найдите производные функций: а) ; б) .

Задача 2. Вычислите значение производных заданных функций в указанных точках: а) , ; б) , ; в) , .

Вариант 5

Задача 1. Найдите производные функций: а) ; б) .

Задача 2. Вычислите значение производных заданных функций в указанных точках: а) , ; б) , ; в) , .

Вариант 6

Задача 1. Найдите производные функций: а) ; б) .

Задача 2. Вычислите значение производных заданных функций в указанных точках: а) , ; б) , ; в) , .

Содержание отчёта

Отчёт о проделанной работе должен содержать:

• название темы практического занятия;

• цели практического занятия;

• условие задачи;

• подробное решение задачи;

• ответ.

Контрольные вопросы

1. Как вычисляют производную сложной функции?

2. Какими правилами дифференцирования вы пользовались при нахождении производных функций?

3. Какими формулами дифференцирования вы пользовались при нахождении производных функций?

4. Как называют операцию нахождения производной функции?

Литература:

1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: «Высшая школа» 2002. с. 94 – 100.

2. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Математика. - Ростов-на-Дону: «Феникс» 2011.- с. 98 – 104 .

Практическое занятие № 4

Решение прикладных задач

Цели: в результате выполнения практической работы, обучающиеся должны уметь применять знания физического смысла производной к решению практических задач и исследовать функции на монотонность, экстремумы.

Пояснения к работе

Монотонность функции и точки экстремума.

Убывающие и возрастающие функции называют монотонными, а промежутки, в которых функции убывают или возрастают – промежутками монотонности.

Возрастание и убывание функции характеризуется знаком своей производной: если в некотором промежутке , то функция возрастает в этом промежутке; если в некотором промежутке , то функция убывает в этом промежутке.

Точки максимума и минимума функции называют точками экстремума функции.

Точками экстремумов могут служить только критические точки, т. е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная функции обращается в нуль или не существует (терпит разрыв).

Если при переходе через критическую точку производная меняет знак, то функция имеет в точке экстремум: минимум в том случае, если производная меняет знак с минуса на плюс, и максимум – когда с плюса на минус. Если же при переходе через критическую точку производная не меняет знака, то функция в точке не имеет экстремума.

Правило нахождения промежутков монотонности и экстремумов функции.

1. Найти производную функции . Найти критические точки функции.

2. Определить знак производной в каждом промежутке, на которые найденные критические точки делят область определения функции . При этом, если на промежутке ( ), то на этом промежутке функция возрастает (убывает). Точка является точкой максимума (минимума) функции, если ее производная меняет знак при переходе через эту точку с плюс на минуса (с минуса на плюс).

3. Вычислить значение функции в точках экстремума.

Пример. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы.

Решение. Область определения этой функции – все множество действительных чисел, т. к. функция задана многочленом. Найдем . . Найдем критические точки этой функции. Производная функция определена на всем множестве действительных чисел. Найдем точки в которых она обращается в нуль. , , или , т. е. , - критические точки.

Определим знак производной на каждом промежутке, результаты внесем в таблицу.

		0		2
	+	0	–	0	+
	Функция возрастает	Максимум	Функция убывает	Минимум	Функция возрастает