Содержание отчёта

Отчёт о проделанной работе должен содержать:

• название темы практического занятия;

• цели практического занятия;

• условие задачи;

• подробное решение задачи;

• ответ.

Контрольные вопросы.

1. Что называют вариантами?

2. Что называют вариационным рядом?

3. Что называют частотой?

4. Что называют частостью (относительной частотой)?

5. Что называют статистическим распределением выборки?

6. Какие существуют виды статистических распределений?

7. Как построить полигон частот (частостей)?

8. Как построить гистограмму частот (частостей)?

9. Как вычисляют среднее арифметическое выборки?

10. Как вычисляют выборочную дисперсию?

11. Как вычисляют выборочное среднее квадратическое?

Литература

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: «Высшая школа» 2001 с.151 – 156.

2. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Математика. - Ростов-на-Дону: «Феникс», 2011.- с. 340 – 360.

3. Спирина М.С., Спирин П.А. Теория вероятности и математическая статистика. – М.: Издательский центр «Академия». -2007г. – с.182-190.

Практическое занятие № 15

Решение систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера и матричным методом

Цели: в результате выполнения практической работы, обучающиеся должны уметь решать системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера и матричным методом.

Пояснения к работе

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащих m уравнений и n неизвестных, называется система вида

где числа , , называют коэффициентами системы, числа - свободными членами,

- неизвестные.

Такую систему принято записывать в компактной матричной форме А∙Х=В.

А- матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей:

А = , Х = - вектор-столбец из неизвестных ,

В = - вектор-столбец из свободных чисел .

Произведение матриц А∙Х определено, т. к. в матрице А столбцов столько же, сколько строк в матрице Х (n штук).

Решением системы называется n значений неизвестных , , …, , при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать в виде вектор-столбца С = .

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными

или в матричной форме А∙Х=В.

Основная матрица такой системы квадратная. Определитель такой матрицы называется определителем системы. Если определитель системы отличен от нуля , то система имеет единственное решение.

Найдем решение данной системы в случае .

Умножив обе части уравнения А∙Х=В слева на матрицу (матрица обратная матрице А), получим ∙ А∙Х = ∙В. Поскольку

∙ А = Е и Е∙Х = Х, то Х = ∙В. (1)

Отыскание решения системы по формуле (1) называется матричным способом решения системы.

Формулы , или , , …, называются формулами Крамера, где

, ,

,…,

Примеры:

1. Решить систему уравнений представив ее в виде матричного уравнения.

Запишем систему в виде А∙Х=В, где , , .

Решение матричного уравнения имеет вид Х = ∙В. Найдём . Имеем . Вычислим алгебраические дополнения элементов этого определителя: , , , , , , , , . Таким образом, , откуда

.

Следовательно, .

2. Решить по формулам Крамера систему уравнений

Для того, чтобы решить систему уравнений по формулам Крамера вычислим определитель системы и определители , , .

, , , .

По формулам Крамера найдем значения переменных.

, , .

Ответ: .

Задание

Вариант 1

Задача 1.Решить систему матричным методом

Задача 2. Решить систему по формулам Крамера

Вариант 2

Задача 1.Решить систему матричным методом

Задача 2. Решить систему по формулам Крамера

Вариант 3

Задача 1.Решить систему матричным методом

Задача 2. Решить систему по формулам Крамера

Вариант 4

Задача 1.Решить систему матричным методом

Задача 2. Решить систему по формулам Крамера

Вариант 5

Задача 1.Решить систему матричным методом а)

Задача 2. Решить систему по формулам Крамера

Вариант 6

Задача 1.Решить систему матричным методом

Задача 2. Решить систему по формулам Крамера

Содержание отчёта

Отчёт о проделанной работе должен содержать:

• название темы практического занятия;

• цели практического занятия;

• условие задачи;

• подробное решение задачи;

• ответ.

Контрольные вопросы

1. При каком условии однородная система имеет нулевые решения?

2. Для каких систем применимы матричный метод и правило Крамера?

3. Каков алгоритм нахождения обратной матрицы?

4. Каков алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом?

5. Как составляют определители при решении систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера?

Литература:

1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: «Высшая школа», 2002. с. 29 – 32

2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник. – М.: Высшая школа, 2010г. с. 220-240

Практическое занятие № 16

Решение систем линейных алгебраических уравнений на ЭВМ

Цель: в результате выполнения практической работы, обучающиеся должны уметь использовать прикладной пакет для обработки вычислений MathCAD

Пояснения к работе

Интерфейс пользователя Mathcad

Интерфейс пользователя MathCAD схож с Windows приложениями и содержит следующие структурные элементы (рис. 1):

главное, или верхнее, меню;

панели (toolbars) Стандартная (Standart) и Форматирование (Formatting);

панели Математические (Math);

контекстные меню;

строка состояния (Status Ваг);

рабочая область (Worksheet);

диалоговые окна.

Панели Mathcad можно разделить на четыре группы: основные, математические, панель Ресурсы (Resources), содержащая список ссылок на огромное количество примеров, подсказок и справочных данных, и панель элементов управления (Controls). К основным относятся обычные для всех Windows-программ панели Форматирование (Formatting) и Стандартные (Standard), а также маленькая панель Математические (Math), содержащая ссылки на панели со специфическими для Mathcad элементами.

Присутствие или отсутствие панели в окне программы определяется специальным подменю Панели инструментов (Toolbars) меню Вид (View).

Рис.1

По умолчанию всегда открыты панели Форматирование (Formatting), Стандартные (Standard), Математические (Math) и Ресурсы (Resources). Математические же панели вызываются по мере необходимости пользователем. Для этого используют команды панели Математические (Math) и к рассматриваемому меню прибегают лишь в том случае, если она будет случайно закрыта.

Всего панелей инструментов в Mathcad 15, если учитывать панель модификации значений Модификаторы (Modifiers), которая является в принципе приложением панели аналитических расчетов Символьные (Symbolic).

Изучать значение каждой кнопки рассматриваемых панелей мы не будем: содержание панели Форматирование (Formatting) должно быть вам хорошо известно по опыту работы с другими программами, специфические кнопки панели Стандартные (Standard) будут рассмотрены в соответствующих лабораторных работах.

Рассмотрим подробнее панели Математические (Math) мы поговорим ниже. Всего математических панелей в Mathcad девять. Открываются они обычно при помощи соответствующих команд панели Математические (Math).

Кратко охарактеризуем панели Математические (Math).

Калькулятор (Calculator). На данной панели расположены операторы, выполняющие все основные арифметические действия, цифры от 0 до 9, некоторые наиболее распространенные функции и математические константы π и мнимая единица i, а также операторы вывода.

Арифметические операторы — это наиболее часто используемые и хорошо известные вычислительные символы. Поэтому специально описывать каждый из них нет смысла. Поясним другие операторы:

- оператор смешанной дроби;

/ - оператор деления. При его нажатии на экране появляется черный маркер: место для ввода числителя и знаменателя дроби;

:= - оператор присваивания с маркерами;

= ■ - оператор вывода численного результата с маркерами;

. - десятичная точка;

Матричные (Matrix). На этой панели расположены операторы ращения, транспонирования матриц, а также операторы индексов и столбцов, и операторы для работы с вектора

MathCAD даёт возможность решать системы уравнений, число уравнений и переменных которых равно 50.

Пример. Решить систему уравнений

Решение. Формируем расширенную матрицу системы, для чего выбираем на панели инструментов изображение матрицы и заполняем её Аb := augment(A,b)

Далее приводим расширенную матрицу системы к ступенчатому виду

Ag := rref(Ab) .

Формирование столбца решения системы: x := submatrix(Ag,1,3,4,4) .

MathCAD позволяет решать системы уравнений по формулам Крамера. Оператор определителя позволяет вычислять определители. Оператор обратной матрицы позволяет решать системы уравнений матричным методом.