Ряды Фурье

Любую периодическую функцию можно представить в виде ряда, членами которого являются простые гармоники, т. е.в виде тригонометрического ряда:

,

где , , -действительные числа, называемые коэффициентами ряда.

Если коэффициенты тригонометрического ряда определяются по формулам , и , то их называют коэффициентами ряда Фурье, а тригонометрический ряд с такими коэффициентами – рядом Фурье функции :

.

Если разлагаемая на отрезке в ряд Фурье функция – четная, то ее ряд Фурье имеет вид:

, где , .

Если разлагаемая на отрезке в ряд Фурье функция – нечетная, то ее ряд Фурье имеет вид:

, где .

Разложить в ряд Фурье функцию , , .

Решение. Дана нечетная функция, поэтому она разлагается в ряд по синусам. Найдем :

.

Тогда ряд Фурье имеет вид: .

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию

Решение. Найдем коэффициенты Фурье ,

,

Таким образом, ряд Фурье для функции имеет вид .

Ответ: .

Задание

Вариант 1

Задача 1. Разложите в ряд Маклорена функции: .

Задача 2. Разложите в ряд Фурье периодическую функцию

Вариант 2

Задача 1. Разложите в ряд Маклорена функции: .

Задача 2. Разложите в ряд Фурье периодическую функцию

Вариант 3

Задача 1. Разложите в ряд Маклорена функции: .

Задача 2. Разложите в ряд Фурье периодическую функцию

Вариант 4

Задача 1. Разложите в ряд Маклорена функции: .

Задача 2. Разложите в ряд Фурье периодическую функцию

Вариант 5

Задача 1. Разложите в ряд Маклорена функции: .

Задача 2. Разложите в ряд Фурье периодическую функцию

Вариант 6

Задача 1. Разложите в ряд Маклорена функции: .

Задача 2. Разложите в ряд Фурье периодическую функцию

Содержание отчёта

Отчёт о проделанной работе должен содержать:

• название темы практического занятия;

• цели практического занятия;

• условие задачи;

• подробное решение задачи;

• ответ.

Контрольные вопросы

1. Где в практике используют разложение функций в ряд Маклорена?

2. Где в практике используют ряды Фурье?

3. Как изменится ряд Фурье, если дана четная функция?

4. Как изменится ряд Фурье, если дана нечетная функция?

5. Каков алгоритм разложения функций в ряд Фурье?

Литература:

1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: «Высшая школа» 2002. с. 409 – 428.

2. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Математика. - Ростов-на-Дону: «Феникс» 2011.- с. 225 – 228.

Практическое занятие № 12

Решение задач на определение вероятности с использованием теорем сложения вероятностей

Цель: в результате выполнения практической работы, обучающиеся должны уметь применять теоремы умножения и сложения вероятностей для вычисления вероятности сложных событий.

Пояснения к работе

Суммой (или объединением) нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них в результате испытания. А + В = С ( ).

Произведением (или пересечением) нескольких событий называют событие, состоящее в одновременном наступлении всех этих событий в результате испытания. А·В = С ( )

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. А и - противоположные события.

Пусть А, В и С – случайные события, выраженные элементарными событиями одного и того же пространства элементарных событий. Тогда следующие события можно записать формулами:

а) событие «произошло только А» записывается формулой ;

б) событие «произошло одно и только одно из данных событий» записывается формулой + + ;

в) событие «произошли два и только два из данных событий» записывается формулой + + ;

г) событие «произошли все три события» записывается формулой ;

д) событие «произошло хотя бы одно из данных событий» записывается формулой А + В + С;

е) событие «произошло не боле двух событий» записывается формулой .

Теоремы сложения вероятностей

Вероятность появления хотя бы одного из двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления.

Р(АВ) = 0, если события несовместны. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Вероятность появления хотя бы одного из событий А1, А2, …, Аn, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий.

Теоремы умножения вероятностей

Условной вероятностью события В при условии А называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило. или

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое уже произошло.

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. .

Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности появления события В.

Пример 1. Вероятность того, что день будет дождливым, р = 0,7. Найти вероятность того, что день будет ясным.

Решение. События «день дождливый» и «день ясный» - противоположные, поэтому искомая вероятность q = 1 – p = 1 – 0,7 =0,3.

Ответ: 0,3.

Пример 2. Вероятность попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: . Найти вероятность попадания при одном залпе (из двух орудий) хотя бы одним из орудий.

Решение. Попадание в цель одним из орудий не исключает возможности попадания в цель другим орудием. Значит, события А – «попадание первого орудия» и В – «попадание второго орудия» совместны. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результата стрельбы из другого орудия, поэтому события А и В независимы. А поэтому Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А)·Р(В) = 0,7 + 0,8 – 0,7·0,8 = 0,94.

Ответ: 0,94.

Пример 3. Имеется 3 ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

Решение. Вероятность того, что из первого ящика вынута стандартная деталь (событие А), Р(А) = = 0,8. Вероятность того, что из второго ящика вынута стандартная деталь (событие В), Р(В) = = 0,7. Вероятность того, что из третьего ящика вынута стандартная деталь (событие С), Р(С) = = 0,9. Так как события А, В и С независимы в совокупности, то искомая вероятность (по теореме умножения) равна Р(АВС) = Р(А)Р(В)Р(С) = 0,8∙0,7∙0,9 =0,504.

Ответ: 0,504.