Признаки сходимости числовых рядов.

Необходимый признак сходимости числового ряда.

Если ряд сходится, то , т. е. при n , предел общего члена сходящегося ряда равен нулю.

Таким образом, если , то ряд может сходиться или расходиться, но если , то ряд расходится.

Пример. Исследовать сходимость ряда, применяя необходимый признак:

. Решение. Найдем предел общего члена ряда . Значит, ряд расходится.

Признак Даламбера. Если для ряда с положительными членами существует , то этот ряд сходится при ρ < 1 и расходится при ρ > 1.

Исследовать сходимость ряда, применяя признак Даламбера Решение. , . Следовательно, данный ряд сходится.

Исследовать сходимость ряда . Решение. , .

. Следовательно, данный ряд расходится на основании признака Даламбера.

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов.

Числовой ряд называют знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные члены.

Числовой ряд называют знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки .

Этот ряд является частным случаем знакопеременного ряда.

Признак Лейбница (признак сходимости для знакочередующихся рядов):

Знакочередующийся ряд сходится, если:

1. Последовательность абсолютных величин членов ряда убывает, т. е. ;

2. Общий член ряда стремится к нулю: . При этом сумма ряда удовлетворяет условию .

Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд:

1) . Решение. Члены данного ряда по абсолютной величине убывают: и . Следовательно, по признаку Лейбница, данный ряд сходится.

2) . Решение. Члены данного ряда по абсолютной величине убывают: , но . Признак Лейбница не выполняется, следовательно, данный ряд расходится.

Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов:

Пусть дан знакопеременный ряд . Если сходится ряд , составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд.

Знакопеременный ряд называют абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится.

Знакопеременный ряд называют условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Исследовать ряд на условную и абсолютную сходимость:

Решение. Данный ряд знакочередующийся. По признаку Лейбница он сходится (смотри выше). Выясним, сходится ли этот ряд абсолютно или условно. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: . Этот ряд является гармоническим рядом, который расходится. Поэтому данный ряд сходится условно.

Функциональные ряды. Степенные ряды.

Ряд, членами которого являются функции от х, называют функциональным рядом:

.

Совокупность числовых значений аргумента , при которых функциональный ряд сходится, называют его областью сходимости.

Среди функциональных рядов в математике и ее приложениях особую роль играют ряды, членами которых являются степенные функции аргумента . Такие ряды называют степенными рядами:

.

Числа называют коэффициентами ряда.

Об области сходимости степенного ряда можно судить, исходя из теоремы Абеля:

Если степенной ряд сходится при , то он абсолютно сходится при всех значениях , удовлетворяющих неравенству . Если ряд расходится при , то он расходится и при всех , удовлетворяющих неравенству .

Интервал ) называют интервалом сходимости степенного ряда. Положив , интервал сходимости можно записать в виде ). Число R называют радиусом сходимости степенного ряда, т. е. это такое число, что при всех , для которых , ряд абсолютно сходится, а при ряд расходится.

Когда степенной ряд сходится только в одной точке , то . Если же степенной ряд сходится при всех значениях (т. е. во всех точках числовой оси), то .

Радиус сходимости степенного ряда находить так: .

Найти интервал сходимости степенного ряда.

. Решение. Найдем радиус сходимости: , ,

.

Значит, ряд абсолютно сходится на интервале .