Группы.

Начнем изучение алгебраических структур со структуры с одной БАО.

Определение 1.22. Пусть и – БАО на . Тогда пара называется группой, если выполнены следующие аксиомы:

1. , т.е. операция ассоциативна;

2. , аксиома нейтрального элемента;

3. , аксиома симметричных элементов.

Если дополнительно БАО является коммутативной, то группа называется коммутативной, или абелевой.

Замечание. На самом деле очень часто используют мультипликативную форму записи операции, а также аддитивную, т.е. знак операции либо вовсе не пишут, либо заменяют на знак «+». В таком случае нет нужды говорить о паре , а говорят просто о группе . Нейтральный элемент в первом случае называют единицей и обозначают «1», а во втором – нулем и обозначают «0». Симметричные элементы соответственно называются обратными и противоположными . В дальнейшем, если не оговорено противное, будем придерживаться мультипликативной форме записи как более простой.

Пример 1.25. – аддитивная группа целых чисел.

Пример 1.26. – мультипликативная группа вещественных чисел.

Пример 1.27. , БАО – умножение.

Пример 1.28. – множество векторов-направленных отрезков, БАО – сложение векторов по правилу треугольника.

Пример 1.29. , 1) БАО: ;

2) . В последнем случае группы нет! Почему?

Пример 1 30. , . Таблица Кэли операции:

*	0	1	-1
0	0	0	0
1	0	1	-1
-1	0	-1	1

Этот пример тоже не задает группу. Почему?

Пример 1.31 Рассмотрим группу симметрий правильного треугольника.

C

A В

Вращая треугольник против часовой стрелки вокруг его центра на углы величиной

,

получаем совмещение треугольника с самим собой. Такие повороты можно трактовать как биективные отображения плоскости треугольника на себя. Множество Ф таких отображений образует относительно операции композиция группу порядка 3. Соответствующая таблица Кэли выглядит следующим образом:

Если дополнить множество Ф еще тремя отображениями плоскости, определяемыми осевыми симметриями треугольника, то как легко выяснить вновь получим таблицу Кэли групповой операции на множестве из шести элементов. Именно, пусть – будут соответственно отображениями относительно вертикальной медианы, медианы, идущей из правого угла, и медианы, идущей из левого угла. Тогда таблица Кэли для множества Ф такова:

Рассмотрим простейшие свойства групповой операции (в мультипликативной форме записи).

1. Единица группы 1 определена однозначно.

2. Для каждого элемента а обратный к нему определен однозначно.

3. В любой группе однозначно разрешимы уравнения и .

4. .

5.

6. .

7. Если определить и , то справедливо

7а) ;

7б) .

8. Если определить , то .

Тогда следствия 7а) и 7б) справедливы для любых целых n и m.

Определение 1.23. Пусть – группа и . Тогда называется подгруппой в , если образует группу относительно сужения операции, определенной в .

Пример 1 32. Сама группа и единичная подгруппа называются тривиальными подгруппами.

Пример 1.33. Группа является подгруппой в и в .

Пример 1.34. Группа Ф является подгруппой в Ф в примере 1.31.

В теории групп принято зачастую изучать группы через совокупность их подгрупп.

Теорема 1.5 (критерий подгруппы).

Для того, чтобы непустое подмножество группы было подгруппой в необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство теоремы получается проверкой аксиом группы. В частности, выбирая получим, что . А при находим, что . Наконец, . А сама теорема представляет из себя экономный вариант проверки на подгруппу.

Определение 1.24. Группа называется циклической, если , что . Элемент называется образующим элементом группы .

Пример 1.35. Группа – циклична. Образующим элементом будет 1 (или -1).

Пример 1.36. Группа Ф является циклической с образующим элементом (или ) .

Как видно из примеров, циклические группы могут быть конечными и бесконечными.

Определение 1.25. В случае конечного множества число элементов группы называется ее порядком. В противном случае говорят о группе бесконечного порядка. Обозначение: .

Лемма 1.9. Каждая подгруппа циклической группы сама циклична.

Доказательство. Будем использовать мультипликативную запись. Пусть – циклическая группа с образующим элементом и – ее подгруппа, . Выберем в элемент с наименьшим натуральным . Пусть теперь . Разделим число на с остатком:

Тогда

.

Отсюда следует, что , значит, делится на и тогда – образующий элемент в .

Случай тривиален. Лемма доказана.

Для конечных циклических групп рассмотрим следующий результат.

Теорема 1.6.

Каждая конечная циклическая группа порядка может быть представлена в виде: .

Доказательство. Обозначим множество из формулировки теоремы через . Тогда очевидно, что . Покажем, что . Применим метод «от противного». Пусть . Это может быть в одном случае, когда среди элементов есть одинаковые. Пусть . Тогда . Таким образом, существует такое, что . Пусть теперь – произвольный элемент группы . Разделим число на с остатком:

.

Тогда

.

Учитывая, что , получаем, что вся группа исчерпывается числом элементов меньшим . Это противоречит тому условию, что группа имеет порядок . Противоречие доказывает теорему.

Следствие. .

Группа

Определение 1.25. Пусть А – множество из элементов. Перестановкой длины элементов множества А называется упорядоченный -местный набор его элементов.

Понятно, что раз речь идет о порядке следования элементов в наборе, то естественно представлять перестановку длины в виде набора номеров элементов множества А, т.е. в виде набора из первых чисел натурального ряда.

Лемма 1.10. Существует перестановок длины .

Определение 1.26. Перестановка вида называется естественным порядком.

Определение 1.27. При заданном естественном порядке два элемента образуют инверсию, если больший элемент стоит перед меньшим.

Пример 1.37. Перестановка длины 8 имеет 8 инверсий.

Определение 1.28. Перестановка называется четной, если содержит четное число инверсий и нечетной в противном случае.

Определение 1.29. Перемена местами двух элементов перестановки называется их транспозицией.

Лемма 1.11. Одна транспозиция меняет четность перестановки на противоположную.

Лемма 1.12. Все перестановок длины можно расположить одну за другой так, что каждая последующая получается из предыдущей одной транспозицией. Подобное упорядочение может быть получено, начиная с любой перестановки.

Следствие. Существуют ровно четных и нечетных перестановок длины .

Определение 1.30. Подстановкой степени называется отображение -элементного множества на себя.

Естественно, что в качестве множества удобно взять начальный отрезок натурального ряда. При этом легко видеть, что сюръекция на конечном множестве является биекцией. Поэтому каждую подстановку степени можно представить в виде отображения одной перестановки длины на другую. Именно:

, где .

Эта общая запись часто заменяется на другую, где верхняя или нижняя перестановки представляют естественный порядок:

.

Отсюда видно, существует ровно подстановок степени . Для подстановок тоже вводят понятие четности.

Определение 1.31. Подстановка называется четной, если составляющие ее перестановки имеют одинаковую четность и нечетной в противном случае.

Понятно, что четность не зависит от способа записи подстановки, ибо при упорядочении верхней или нижней перестановки приходится совершать транспозиции столбцов. Поэтому четность меняется как вверху, так и внизу на противоположную. Но тогда по следствию из леммы 1.12 существует ровно четных и нечетных подстановок степени , .

Определим на множестве подстановок степени , которое обозначим как , операцию композиции . Тогда оказывается справедливой следующая

Теорема 1.7.

Пара представляет группу порядка . При группа некоммутативная.

Доказательство. Очевидно, что операция есть ассоциативная БАО на множестве . Далее, тождественное отображение есть единица группы по лемме 1.7. Наконец, ввиду того, что каждая подстановка суть биекция , то существует обратное отображение такое что . Некоммутативность для случая усматривается непосредственно.

Обозначим через множество четных подстановок степени .

Задача 1.1. Показать, что пара представляет группу четных подстановок, подгруппу в (знакопеременная группа).

Кольца

Рассмотрим теперь алгебраические структуры с двумя БАО.

Определение 1.32. Пусть , « » и « » – две БАО на . Тогда тройка называется кольцом, если выполнены следующие группы аксиом:

1. – абелева группа;

2. и .

Замечание 1. Как правило, в кольцах групповая операция называется сложением и обозначается +, а вторая операция называется умножением. Поэтому вместо тройки говорят о кольце . Группа называется аддитивной группой кольца, на которую переносятся все термины общей аддитивной группы.

Замечание 2. Если вторая операция ассоциативна, то говорят об ассоциативном кольце; если вторая операция ассоциативна и коммутативна – то о коммутативном кольце; если по второй операции существует нейтральный элемент – то о кольце с единицей.

Определение 1.33. Два ненулевых элемента кольца, произведение которых равно нулю (нейтральному элементу по сложению), называются делителями нуля в кольце.

Определение 1.34. Коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля называется целостным кольцом.

Пример 1.38. Кольцами являются и . Это целостные кольца.

Пример 1.39. Пусть . Это целостное кольцо относительно сложения и умножения вещественных чисел. Его обозначают как .

Пример 1.40. Пусть и заданы операции на : . Тогда будет кольцом. Кстати, вместо а можно взять число 0.

Пример 1.41. Пусть – аддитивная абелева группа. Определим операцию умножения на следующим образом: . Получим кольцо. Какое?

Пример 1.42. Пусть есть множество непрерывных вещественных функций, определенных на отрезке . Обозначим его через . Тогда относительно поточечного сложения и умножения получаем коммутативное кольцо с единицей и делителями нуля. Делители нуля можно легко задать следующим образом:

и

Из условий на функции видно, что .

Рассмотрим простейшие следствия из аксиом кольца.

1. ;

2. ;

3. , если кольцо имеет единицу 1;

4. . Здесь разность трактуется как ;

5. .

Если кольцо не имеет делителей нуля, то справедливы законы сокращения на ненулевой множитель:

6. ;

7. .

Определение 1.35. Пусть – кольцо и , . Тогда называется подкольцом в , если само образует кольцо относительно сужения операций определенных на .

Пример 1.43. .

Пример 1.44. – нулевое (тривиальное) подкольцо. Тривиальным назовем также случай .

Пример 1.45. Пусть , –подкольцо в .

Пример 1.46. Пусть , тогда – подкольцо в .

Теорема 1.8. (критерий подкольца)

Непустое подмножество кольца является его подкольцом тогда и только тогда, когда

1) ;

2) .

Доказательство. Можно использовать теорему 1.5 или просто проверить выполнимость аксиом кольца.

Определение 1.36. Пусть – коммутативное кольцо. Подкольцо называется идеалом кольца , если оно замкнуто по умножению на элементы кольца, т.е. .

Тривиальными идеалами, очевидно, будут само и . Но можно привести менее очевидные примеры:

Пример 1.47. Подкольца из примеров 1.45, 1.46.

Пример 1.48. Пусть – коммутативное кольцо и , тогда наименьшим идеалом в , содержащим а является .

Пример 1.49. Пусть – коммутативное кольцо и , тогда идеалом будет подкольцо . Если кольцо имеет единицу, то примеры 1.48 и 1.49 совпадают.

Определение 1.37. Пусть – коммутативное кольцо и идеал в кольце, тогда называется главным идеалом в , если в существует такой элемент а, что . При этом а называется порождающим элементом идеала.

Определение 1.38. Целостное кольцо, в котором каждый идеал является главным, называется кольцом главных идеалов.

Лемма 1.13. Кольцо – кольцо главных идеалов.

Доказательство. Пусть – произвольный идеал в и . Пусть а – наименьший положительный элемент в . Тогда для любого элемента имеем по теореме о делении с остатком, что , где . Отсюда , что противоречит выбору а , если . Значит, и, следовательно, с некоторым . Тогда ясно, что , т.е. главный идеал.

Следствие. Все идеалы кольца исчерпываются кольцами вида .

Определение 1.39. Целостное кольцо, в котором каждый ненулевой элемент имеет обратный, называется полем.

Это определение можно эквивалентным образом переформулировать.

Определение 1.40. Пусть Р – множество, содержащее по крайней мере два элемента, с определенными на нем БАО сложения и умножения. Тогда тройка называется полем, если выполнены следующие группы аксиом:

1. – абелева группа;

2. – абелева группа;

3. .

Задача 1.2. Доказать эквивалентность определений поля.

Пример 1.50. Полями являются множества , (обратите внимание на изменение обозначения), относительно обычных операций сложения и умножения чисел. Легко видеть, что ненулевые элементы из обратимы. Действительно, для имеем

.

Более сложные поля будут обсуждаться позже.

Определение 1.41. Непустое подмножество поля называется его подполем, если само является полем относительно сужения операций, определенных на . Само в этом случае называется расширением поля .

Пример 1.51. .

Лемма 1.14. В любом поле справедлив закон сокращения на общий ненулевой множитель.

Доказательство состоит в том, что поле есть кольцо без делителей нуля.

Определение 1.42. Характеристикой поля Р называется наименьшее натуральное число такое, что , если такое существует. В противном случае характеристику поля считают равной нулю. Обозначение: .

Замечание. Напомним, что . Нулевую характеристику имеют все числовые поля и многие с ними связанные. Положительную характеристику имеют, в частности, конечные поля.

Определение 1.43. Пусть даны два поля и . Поле называется изоморфным полю , если существует биекция такая, что для любых выполняются условия:

1. ;

2. .

Само отображение при этом называется изоморфизмом полей. Обозначение: .

Легко усмотреть некоторые свойства изоморфизма.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. Образ подполя в поле есть подполе в поле .

Этот список может быть продолжен. В целом изоморфизм означает, что изоморфные поля по своим алгебраическим свойствам, т.е., по свойствам, связанным с алгебраическими операциями, ничем друг от друга не отличаются. Основное отличие зачастую состоит в разной природе элементов множеств и . Подытожим еще сказанное полезной леммой.

Лемма 1.15. Бинарное отношение изоморфизма на множестве всех полей есть отношение эквивалентности.

Доказательство. Очевидно, что . Докажем, что из следует , т.е., симметричность отображения. В качестве кандидата на такой изоморфизм естественно взять отображение, обратное к , т.е., . Оно, очевидно, является биекцией . Остается проверить выполнимость, так называемых, условий согласования операций. Именно: для любых , должно выполняться

1. ;

2. .

Так как доказательство в обоих случаях проводится одинаково, то остановимся на проверке первого условия. Вычислим значения левой и правой частей равенства под воздействием изоморфизма .

;

Как видно, образы равны, значит, равны и прообразы.

Доказательство транзитивности оставляем студентам.

Эта лемма выстраивает разбиение всех полей на попарно непересекающиеся классы изоморфных между собой. Поэтому появляется смысл изучать поля «с точностью до изоморфизма», что предполагает наличие некоторой модели соответствующего класса.

Пример 1.52. Изоморфными полями будут и поле при

изоморфизме .

В завершение рассмотрим в произвольном поле действия с дробями. Обозначим через для . Тогда, имея в виду правила действия с показателями в группе, легко получить правила действия с дробями:

1) для ;

2) для ;

3) для .