Бинарные отношения

Определение 1.8. Бинарным отношением R на непустом множестве А называется подмножество декартова квадрата множества А: .

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.5. Пусть ,тогда 1) , 2) .

Пример 1.6. Пусть , тогда 1) ,

2) .

Бинарные отношения широко используются в математике, но среди всех выделим одно специальное. Это т.н. «обобщенное равенство». Речь идет о равенстве элементов некоторого множества в соответствии с неким присущим им свойством. Таким образом, осуществляется отход от равенства тождественного. По данному свойству элементы множества и объединяются в пары, составляющие бинарное отношение.

Определение 1.9. Бинарное отношение на множестве А называется отношением эквивалентности, если выполнены следующие аксиомы, здесь :

1. , рефлексивность отношения;

2. Если , то , симметричность отношения;

3. Если и , то , транзитивность отношения.

Пример 1.7. Обычное тождественное равенство элементов.

Пример 1.8. Пусть А есть множество прямых на данной плоскости. В качестве отношения выберем отношение параллельности.

Пример 1.9. Пусть А есть множество всевозможных треугольников на данной плоскости. В качестве бинарного отношения выберем отношение подобия.

Пример 1.10. Пусть А есть множество вещественных чисел. Отношение эквивалентности можно задать, сравнивая дробные части чисел.

Теорема 1.1 (критерий отношения эквивалентности).

Бинарное отношение на множестве А является отношением эквивалентности тогда и только тогда, когда задает разбиение множества А.

Для доказательства достаточно увидеть, что классы разбиения задаются эквивалентными между собой элементами.

Отображения

Введем фундаментальное понятие алгебры, да и всей математики. Речь пойдет об отображении.

Определение 1.10. Пусть заданы произвольные непустые множества и . Отображением из множества во множество называется закон, по которому каждому элементу множества ставится в соответствие один элемент множества . Обозначение: . Для отдельных элементов пишут: или . Элемент называется образом элемента , а элемент называется прообразом элемента . Множества и называются соответственно областью определения и областью значений отображения , а – законом соответствия.

Определение 1.11. Два отображения называются равными, если у них соответственно совпадают области определения, области значений и законы соответствия.

Рассмотрим отображения специального вида.

Определение 1.12. Отображение из множества во множество называется сюръективным, если каждый элемент служит образом при этом отображении. В этом случае говорят о наложении множества на множество , или об отображении на .

Пример 1.11. , , .

Пример 1.12. , , .

Определение 1.13. Отображение из множества во множество называется инъективным, если каждый элемент имеет не более одного прообраза. Такое отображение еще называют вложением в .

Пример 1.13. , , .

Пример 1.14. , , . Это отображение инъективным не является.

Определение 1.14. Сюръективное и инъективное отображение называется биективным, или взаимно однозначным.

Пример 1.15. , , .

Пример 1.16. , , .

Определение 1.15. Отображение называется тождественным, если .

Лемма 1.3. Тождественное отображение биективно.

Определение 1.16. Образом отображения называется множество

.

Лемма 1.4. Отображение сюръективно тогда и только тогда, когда .

При помощи специальной операции можно строить из одних отображений другие.

Определение 1.17. Пусть заданы отображения и . Тогда отображение называется композицией отображений и , если

.

Очевидно, что композиция отображений существует не всегда. Поэтому заведомо может не выполняться равенство . Но зато имеет место следующая

Лемма 1.5. Композиция отображений обладает свойством ассоциативности, т.е. если соответствующие композиции существуют, то

.

Лемма 1.6. Композиция биективных отображений сама биективна.

Лемма 1.7. Пусть задано отображение . Тогда

, .

Пример 1.17. Пусть заданы отображения и , где , . Тогда , и .

Пример 1.18. Пусть заданы отображения и , где и . Тогда и .

Определение 1.18. Пусть заданы два отображения и . Если выполнено условие , то называется левым обратным к , а правым обратным к . Если имеет место соотношение , то называется правым обратным к , а – левым обратным к . Если выполнены оба условия, то называется обратным к , а обратным к . Обозначения: , .

Лемма 1.8. Если обратное отображение к данному существует, то оно определено однозначно.

Теорема 1.2 (критерий обратимости отображения).

Отображение обратимо тогда и только тогда, когда оно биективно.

Доказательство. Необходимость. Пусть заданы отображения и . Покажем, что f сюръективно и инъективно.

Сюръективность. От противного. Пусть f не сюръективно, тогда существует такой элемент , который не служит образом никакого элемента из . Пусть и найдем образ

.

Таким образом, приходим к противоречию о том, что не служит образом для элементов из . Сюръективность установлена.

Инъективность. От противного. Пусть f не инъективно, тогда существуют такие , , что . Применим к обеим частям равенства отображение . Получим

.

Вновь имеем противоречие с неравенством . Инъективность доказана.

Следовательно, f – биективно.

Достаточность. Пусть теперь задано биективное отображение . Построим отображение такое, что если для , то . В силу сюръективности и инъективности f так определенное действительно является отображением из в . Покажем, что . Для этого нужно проверить выполнимость условий определения 1.18. Именно:

.

С другой стороны,

.

Таким образом, и обратимость f установлена. Теорема полностью доказана.

Пример 1.19. Пусть заданы , и . Тогда .

Пример 1.20. Пусть заданы , и . Тогда .