Алгебраическая операция
Если учесть, что одной из целей алгебры есть изучение свойств алгебраических операций в соответствующих структурах, то здесь подходим к этому важному понятию. Для простоты будем говорить лишь о бинарных операциях.
Определение 1.19. Бинарной
алгебраической операцией (БАО)
на множестве А называется отображение
,
т.е. отображение декартова квадрата
множества А во множество А.
Таким образом,
,
или в обычной записи
.
Пример 1.21.
,
.
Пример 1 22.
,
.
Пример 1.23.
,
.
Определение 1.20. БАО на множестве А называется коммутативной, если
.
Легко видеть, что все вышеприведенные примеры задают коммутативные операции.
Определение 1.21. БАО на множестве А называется ассоциативной, если
.
Можно проверить, что 1.21 и 1.23 дают примеры ассоциативных операций, а пример 1.22 не является таковой.
В силу того, что операция бинарная, т.е. может быть применена к паре элементов, задача вычисления «длинных звездных произведений» оказывается в общем случае неоднозначной. Но для ассоциативных операций справедлива
Теорема 1.3 (общий ассоциативный закон).
Пусть на множестве А задана
ассоциативная БАО
.
Тогда значение выражения
не зависит от порядка расстановки
скобок.
К этой теореме примыкает еще один результат.
Теорема 1.4 (общий коммутативный закон).
Пусть на множестве А задана
ассоциативная и коммутативная БАО
.
Тогда значение выражения
не
зависит от порядка следования «звездных
сомножителей».
Обе теоремы легко доказываются индукцией по числу сомножителей.
БАО на конечном множестве можно задавать т.н. таблицей Кэли. Она представляет из себя таблицу всевозможных результатов этой операции, которые помещены на пересечении строки и столбца, в которых выписаны все элементы. Такую таблицу возможно построить, если множество не очень велико, и тогда операция оказывается обозримой во всей своей полноте. Для иллюстрации приведем небольшой пример.
Пример 1.24. Пусть
,
и
.
Тогда
* |
0 |
1 |
2 |
3 |
0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
1 |
1 |
1 |
2 |
3 |
2 |
2 |
2 |
2 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
Элемент, стоящий слева берется из левого столбца, а элемент справа – из верхней строки, а результат читается на пересечении строки и столбца, где располагаются исходные элементы. В указанном примере видно, что операция коммутативна, ибо таблица симметрична относительно диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний. Конечно, это легко заметить из условия задания операции, однако такое бывает не всегда заметно, а таблица все расставляет на свои места.