I.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
Множества
Определение понятию «множество» не
дают. Оно относится к первичным понятиям
и можно лишь дать некоторое описание,
где указанное слово заменяется другим.
Например, так. Под множеством будем
понимать собрание разных различимых
сущностей, называемых элементами
множества, мыслимое как единое целое,
в которое они (элементы) объединены
согласно некоторой идее. Обозначают
множества, как правило, большими
латинскими буквами: А, В, С,
…, а элементы этих множеств малыми
латинскими или греческими буквами. Тот
факт, что «а» является элементом
множества А принято изображать как
.
Определение 1.1. Если все элементы
множества В являются одновременно
и элементами множества А, то В
называется подмножеством А. Это
изображается как
или
.
В последнем случае допускается совпадение
множеств.
Определение 1.2. Множество, не
содержащее ни одного элемента, называется
пустым и обозначается
.
Если элемент (множество) не принадлежит
множеству А, то это изображается,
например, так:
(
).
Иногда черта отрицания ставится над
знаком принадлежности.
Определение 1.3. Два множества А
и В называются равными, если
состоят из одних и тех же элементов.
Пишут
.
Лемма 1.1. Пусть А и В
множества. Тогда
,
если и только если
и
.
Множества можно задавать самыми различными способами. Один из способов заключается в использовании фигурных скобок. В общем виде это выглядит так:
.
Прочитать эту запись можно следующим образом: множество А состоит из тех элементов множества Х, для которых выполняется свойство Р. При этом множество Х можно не упоминать. Тогда лишь становится известным, как будут обозначаться элементы А.
Замечание. В связи с последними
обозначениями следует различать записи
и
ибо в первом случае множество не содержит
элементов, а во втором имеем дело с
множеством из одного (!) элемента. Кстати,
пустое множество считается подмножеством
любого множества.
В дальнейшем для сокращения записей будут использоваться некоторые логические символы, именно:
квантор общности
–
читается «для всех», «для каждого»;
квантор существования
– читается «существует хотя бы один»,
– «существует ровно Q
символ
читается «следует»;
символ эквивалентности
–
читается «тогда и только тогда»,
«необходимо и достаточно» и т.д.
символ конъюнкции
– читается «и»;
символ дизъюнкции
– читается «или» в не исключающем
смысле;
символ отрицания
– читается «не».
Для целого ряда числовых множеств имеются международные обозначения:
N – множество натуральных чисел;
N
–
множество натуральных чисел, пополненное
нулем;
Z – множество целых чисел;
Q – множество рациональных чисел;
R – множество вещественных чисел;
С – множество комплексных чисел.
Иногда эти обозначения имеют дополнительные
значки, как-то: Q
– множество положительных рациональных
чисел. Для числового множества Р,
содержащего нуль,
.
Над множествами можно выполнять некоторые операции.
Определение 1.4. Пусть А и В множества. Тогда множество С, содержащее как элементы множества А, так и элементы множества В и только их называется объединением множеств А и В:
.
Определение 1.5. Пусть А и В множества. Тогда множество С, состоящее из тех элементов множества А, которые входят во множество В и только их, называется пересечением множеств А и В:
.
Легко видеть, что эти определения
можно обобщить на более чем два множества.
Используются обозначения:
и
.
Ну а для указанных определений выпишем
почти очевидные свойства операций.
Лемма 1.2. Пусть А , В и С множества. Тогда
;
;
;
;
;
.
Определение 1.6. Пусть А и В множества. Тогда множество С, содержащее те элементы множества А, которые не входят в В, и только их, называется разностью множеств А и В:
.
Легко указать многие свойства, связывающие указанные три операции. Но рассмотрим еще одну важную конструкцию.
Определение 1.6. Пусть задано
непустое множество А и некоторое
непустое множество его подмножеств
Тогда совокупность подмножеств
называется разбиением множества
А, если выполнены условия:
;
.
Пример 1.1. Пусть А
Q.
Тогда Q
.
Пример 1.2. Пусть
.
Тогда
.
Наконец еще одно определение.
Определение 1.7. Пусть
,
– непустые множества. Тогда множество
А называется декартовым произведением
множеств
,
если
,
т.е. А – множество упорядоченных
-местных
наборов элементов множеств
.
В случае, когда
,
то говорят о
-той
декартовой степени множества В:
.
Наконец, если
,
то говорят о декартовом квадрате
множества В:
.
Пример 1.3. Пусть
,тогда
.
Пример 1.4. Пусть
,
а
.
Тогда
.