2 . Математический маятник

период математического маятника

l – длина нити маятника

3. Физический маятник – это тело, совершающее колебания вокруг горизонтальной оси, не проходящей через центр масс С.

d – расстояние от оси вращения до центра масс

I – момент инерции тела

- приведенная длина физического маятника

§6. Сложение колебаний

1. Сложение одинаково направленных колебаний с одинаковой частотой методом векторных диаграмм.

-начальная фаза первого колебания.

-начальная фаза второго колебания.

Амплитуда результирующего колебания:

Начальную фазу результирующего колебания найдем из соотношения:

Откуда

2. Биения.

Биения возникают при складывании гармонических колебаний одинакового направления с мало отличающимися частотами. В результате сложения получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой.

- период колебаний;

- период биений.

Δω<<ω₀

;

;

(Δω<<ω₀ → пренебрегаем)

- амплитуда результирующего колебания.

3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу

Фигура Лиссажу – это замкнутая траектория точки, которая совершает одновременно два колебания во взаимно перпендикулярных плоскостях.

Форма фигуры Лиссажу зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз.

Рассмотрим несколько примеров:

а) Сложение двух гармонических колебаний одинаковой частоты ω, которые осуществляются вдоль координат OX и OY и имеют разность фаз колебаний φ

- уравнение траектории движения точки.

б) Сложение двух гармонических колебаний одинаковой частоты ω, которые осуществляются вдоль координат OX и OY и имеют разность фаз колебаний π/2

отсюда

- уравнение эллипса

Если амплитуды колебаний А и В одинаковые, то эллипс превращается в окружность

в) Сложение двух гармонических колебаний одинаковой частоты ω, которые осуществляются вдоль координат OX и OY и имеют разность фаз колебаний π

- уравнение прямой

Результирующее колебание является гармоническим колебанием с частотой  и амплитудой , совершающимся вдоль прямой, составляющей с осью х угол =arctg .

§7. Затухающие колебания

Это колебания, амплитуда которых со временем уменьшается

Дифференциальное уравнение затухающего колебания

.

Решением дифференциального уравнения является уравнение вида:

В общем случае уравнение затухающих колебаний можно записать в виде:

=

Амплитуда затухающих колебаний уменьшается со временем по экспоненциальной зависимости:

где A₀ - начальная амплитуда (характеризует максимальное отклонение параметра х в момент времени t=0)

– коэффициент затухания (характеризует скорость затухания

колебаний).

где r - коэффициент сопротивления; m - масса

П унктирная линия на графике затухающих колебаний – это зависимость амплитуды от времени. Чем больше коэффициент затухания β (нижний рис ), тем больше скорость затухания колебаний

.

Логарифмический декремент затухания λ, который определяется как натуральный логарифм отношения амплитуды колебаний A(t) в момент времени t к амплитуде A(t+T) в момент времени (t+T), то есть через время, равное периоду колебаний.

Логарифмический декремент затухания λ связан с коэффициентом затухания β и характеризует скорость затухания амплитуды колебаний

Вообще основными характеристиками затухающих колебаний являются:

- амплитуда колебаний (в момент времени t=0 она имеет максимальное значение А₀).

- коэффициент затухания

(r - коэффициент сопротивления; m - масса)

- циклическая частота затухающих колебаний.

- период колебаний.

- логарифмический декремент затухания.

- время релаксации (характеризует время, за которое амплитуда уменьшается в е раз).

Ν_е - число полных колебаний за время релаксации.

- добротность контура (характеризует число колебаний за время релаксации).