Теорема Штейнера

Если ось вращения не совпадает с центром тяжести, то момент инерции расчитывают по теореме Штейнера:

,

где J′ - момент инерции тела относительно произвольной оси вращения 0′0′;

J₀ – момент инерции тела относительно оси 00, проходящей через центр тяжести;

d - расстояние от оси вращения до центра тяжести тела.

Для примера рассчитаем момент инерции стержня относительно оси, проходящей через конец стержня.

§2. Момент силы (вращающий момент)

При вращении тела важен модуль силы, ее направление и точка приложения относительно оси вращения.

Плечо силы – это кратчайшее расстояние (перпендикуляр) от оси вращения до направления действия силы.

l = r sinα

Момент силы (вращающий момент) относительно центра вращения (т.0) характеризует способность силы вызывать вращения тела вокруг этого центра.

Модуль момента силы равен произведению силы на плечо

М = r =Fl

(r-расстояние от центра вращения до точки приложения силы).

М омент силы - векторная величина:

Направление вектора определяется правилом правого винта

Вектор направлен перпендикулярно к той плоскости, в которой лежит сила точка О.

- псевдовектор,так как не имеет конкретной точки приложения.

§3 Момент импульса

Момент импульса точки относительно центра вращения (т.O) называется векторная величина

=[ ] = [ , ]

где - радиус вектор материальной точки.

= - импульс материальной точки..

Модуль момента импульса L = p

где l = r - плечо импульса

Частица (материальная точка) обладает моментом импульса, независимо от траектории, по которой она движется.

• 1 ) материальная точка А массой т. движется вдоль прямой со скоростью v и обладает импульсом

р = mv

r – радиус- вектор, проведенный из точки О в точку А;

l = r·sinα – плечо импульса

L= mvl = mv r·sinα

• 2) материальная точка массой т движется по окружности радиусом r

L= mvr =const (при V=const)

Вектор направлен перпендикулярно плоскости

чертежа (от нас) .

Скорость изменения момента импульса со временем равна

суммарному моменту сил, действующих на частицу.

.

§4 Основное уравнение динамики вращательного движения (второй закон Ньютона)

Пусть твердое тело вращается относительно оси 00’ (рис ниже).

Момент импульса относительно оси вращения - скалярная величина, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определяемого относительно произвольной точки 0 данной оси.)

Для расчета момента импульса тела найден момент импульса каждой материальной точки m и просуммируем эти моменты

Величина называется

момент инерции материальной точки.

Момент инерции твердого тела равен сумме моментов инерции всех материальных точек этого тела.

Тогда:

L= J ω - момент импульса тела относительно оси.

Так как , имеем:

М=