Б) на арифметическую прогрессию. «Пусть сказано разделить 10 мер ячменя между 10 человеками; разница между каждым человеком и его соседом составляет 8 мер ячменя (средняя доля есть одна мера).

Решение. Вычти 1 из 10. Остаток есть 9. Составь половину разницы; это есть . Возьми ее 9 раз; это дает . Приложи это к средней доле; вычитай для каждого лица по меры, пока не достигнешь конца».

Итак ход решения можно представить так: пусть S – сумма убывающей арифметической прогрессии (S=10), n=10 – число ее членов, d= - разность, - ее члены, начиная с наибольшего. Итак:

1. Образуется среднее арифметическое .

2. Из числа членов отнимается единица .

3. Составляется полуразность прогрессий .

4. Полуразность умножается на число членов без одного:

.

5. Прибавлением результата к среднему арифметическому находится первый член прогрессии

.

6. Остальные члены находятся последовательным вычитанием разности

,

и т.д.

В основу положено правило (формула) . Решение этой задачи показывает, что здесь не может быть речи об алгебраической трактовке вопроса, имеем дело с обычным арифметическим рассуждением.

7. Геометрические знания египтян относятся к измерению площадей и объёмов. Некоторые найденные при этом результаты были замечательными, но в отдельную отрасль математики геометрия ещё не превратилась.

Площади прямоугольников, треугольников и трапеций вычислялись по точным правилам, площадь произвольного четырёхугольника по приближённому правилу, как произведение полусумм пар противоположных сторон a,c и b,d т.е. .

Этой формулой пользовались и при определении площади треугольника при d=0. Все эти задачи возникли из практики землемерия.

Мы то знаем, что это правило приближённое, знали ли об этом землемеры, это вопрос, на который мы не сможем ответить.

Вычисление S круга.

Египтяне пользовались хорошим приближением, полагая площадь S круга равной квадрату со стороной в диаметра: . Метод получения правила неизвестен. Правдоподобна гипотеза А.Е. Райк о последовательности наложения квадратных сеток. Предполагается, что площадь круга диаметра d сравнивается с площадью описанного квадрата, из которого удалялись малые квадратики со сторонами .

Первое приближение:

.

Второе приближение:

.

Эта формула поражает нас большой степенью точности: ей соответствует значение . Большой интерес представляет вопрос о том, как был получен этот результат.

Десятая задача Московского папируса представляет собой древнейший в истории пример вычисления площади кривой поверхности. О какой именно поверхности идёт речь, до сих пор точно не установлено. Согласно утверждению академика В.В. Струве, расшифровавшему и издавшему в 1930 году Московский папирус, речь идёт о «Корзине», обозначаемой символом

и являющейся полусферой.

Другие исследователи, например Т.Э.Пит считает, что речь идёт о полуцилиндре.

Для О. Нейгебауера эта «корзинка» не что иное, как один из куполообразных амбаров (для хранения зерна).

Соответствующие вычисления, изложенные в папирусе, приближенные к дробям.

8. В древнем Египте математика представляла собой совокупность знаний, ещё не расчленившуюся на арифметику, алгебру, геометрию и выступающую прежде всего как собрание правил для численного решения простейших арифметических, алгебраических и геометрических задач. Проблемы, стоявшие перед египетскими чиновниками, были главным образом практические. Многие решения находили путём проб, ощупью и не удивительно, что они оказывались иногда громоздкими и требовали преодоления больших трудностей. Но наряду с этим обобщались задачи и они начинали принимать более абстрактных характер. При исследовании отдельных проблем вырабатываются приёмы геометрических и арифметико-алгебраических преобразований, которые предвещали дальнейший рост этих составных частей математической дедукции.

Математика древнего Египта оказала несомненное влияние на последующие судьбы науки.

Основная литература:

1. Математическая энциклопедия. Книги 1-5. - М.: Советская энциклопедия, 1977-1985.

2. Рыбников К.А. История математики. Уч.пособие для судентов математических специальностей университетов и пед.институтов. 2-е изд. -М.: Изд-во МГУ, 1974.

3. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. – Москва: Наука, 1969.

4. Юшкевич А.П. История математики в средние века. - М.: Наука, 1961.

5. История математики с древнейших времен до начала ХІХ столетия. В 3-х томах. Под.ред А.П.Юшкевича.-М.: Наука, 1970-1972.

6. Нейгебауэр О. Точные науки в древности – М: Наука, 1968.

Дополнительная литература:

1. Хрестоматия по истории математики. Под.ред. А.П.Юшкевича. – М.: Просвещение, 1976, 1977.

2. Глейзер Г.И. История математики в средней школе в 3-х кн. .-М.: Просвещение, 1981-1983.

3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. «За страницами учебника». - М.: Просвещение, 2002.

4. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. – Москва: Наука, 1969.