4. Красные числа.

Красные числа это не что иное как дополнительные множители, подобные тем, которыми мы пользуемся при приведении дробей к общему знаменателю. Красные числа могут быть не только целыми, но и дробными. Общим знаменателем является не наименьшее общее кратное, а просто в большинстве случаев наибольший из знаменателей данных дробей. Все остальные дроби выражаются через эту наименьшую дробь, “измеряются” некоторой минимальной мерой, которая не всегда может целое число раз уложиться в заданных величинах. Эта процедура нужна была в тех сложных случаях деления 2 на 31, …, когда по египетскому способу, получив единицу с некоторой дробью, требовалось оценить, сколько же еще не хватает до 2.

Пример. Схема деления 37 на в задаче 33 папируса Райнда такова:

1 .

2 (т.к. ).

4 (т.к. ).

8

16

Н айти надо, сколько не достает дроби до единицы и выразить в других единицах эту недостачу и делитель чтобы можно было сравнить их. Здесь такой единицей является дробь а не , потому что главная цель красных чисел – дать в сумме целое число. Остаток в новых единицах, т.е. долях :

Красные числа (они взяты в кружки)

в сумме дают 40.

Значит до единицы не хватает двух .

Делитель же в новых единицах

слагается из:

т.е. равен 97 этих новых единиц. Следственно, в первой схеме удвоений к частному 16 надо еще прибавить , что по таблице канонических разложений представляется суммой . Тогда в правой части схемы будет число 37, которому в левой части будет соответствовать частное, равное . Это и есть ответ.

5. В задачах на “axa”, с современной точки зрения, решаются уравнения первой степени вида , откуда .

Эта задача соответствует нашим линейным уравнениям с одним неизвестным. Слово “axa” означает “кучу”, “груду” (в смысле количества), и, конечно это количество есть неизвестная, которую надо найти.

Задача № 26 в папирусе Райнда. “Количество и его четвертая часть дают вместе 15” (мы бы записали: ), а решение начинается словами: “Считай с 4;от них ты должен взять четверть, имеют 1, вместе 5”. После этого вычисляется и . Это следует понимать так. Вычислитель принимает, что количество есть 4, тогда прибавление четверти количества дает 5, а должно быть второе больше ( ); поэтому искомое количество также должно быть втрое больше принятого ( ). Вообще, если «ложное положение» есть и оно дает вместо , то:

, .

С помощью метода ложного положения египтяне решали также задачи, которые можно выразить двучленным квадратным уравнением . Такова, например задача №6 Московского папируса, в условии которой сообщается, что длины являются шириной, а площадь равна 12 и требуется определить стороны прямоугольника. Судя по порядку действий, решение основано на пропорциональной зависимости между квадратом предположенного значения длины, равной 1, и площадью, равной в таком случае , а также квадратом истинной длины x и истинной заданной площадью 12:

.

В египетском решении прежде всего вычисляется . Далее находится произведение и . Наконец, ширина есть . Однако, имеются и другие истолкования этого решения.

В группе задач на «аха», первых в истории математики отвлеченных задачах, решенных единым методом, видим зачатки алгебры как науки о решении уравнений.

«Квадрат и другой квадрат, сторона которого есть , стороны первого квадрата, имеют вместе площадь 100. Вычисли мне это».

Решение. Возьми квадрат со стороной 1, и возьми от 1, т.е. в качестве стороны второго квадрата. Умножь на самого себя; это дает . Поскольку сторона первой площади взята за 1, а второй за , то сложи обе площади вместе, это даст . Возьми отсюда корень: это будет . Возьми корень из данных 100, это будет 10. Сколько раз входит в 10? Это входит 8 раз (далее текст прочесть нельзя).

Задание студентам: объяснить решение задачи и восстановить содержание недостающей части текста.

Пояснения.

1. Применяются только дроби вида , где и . Применяются дроби и , .

2. Применяется метод «ложного положения».

3. Деление рассматриваются как действие, обратное умножению, а последнее сводится к последовательным удвоениям.

Объяснение задачи.

Если сторона первого квадрата равна 1 «ложное положение», то сторона второго равна . Сумма площадей (т.е. ). Корень квадратный из этого числа (т.е. ). 8 раз содержится в 10, квадратном корне из 100. Деление производится как действие, обратное умножению, а последнее сводится к последовательным удвоениям. Троекратное удвоение дает ; 5; 10, т.к. квадратный корень из числа в восемь раз меньше квадратного корня из 100, то принятое за длину стороны квадрата число, т.е. единицу, следует умножить на 8. Таким образом, легко восстанавливается содержание недостающей части текста: стороны искомых квадратов будут и .

6. Математические знания позволяли египетскому чиновнику производить расчеты при строительных работах, сборе налогов, разделе имущества, обмене и распределении продуктов, измерении площадей и объемов, плотин и зернохранилищ, переводе мер веса или емкости в другие единицы и т.п. Основное внимание в египетских текстах сконцентрировано не на методах решения задач, а на самих вычислениях.

Некоторая систематизация материала встречается в папирусе Райнда. Классификация задач производилась не по методам (например, задачи на пропорции, линейные уравнения и т.д.), а по темам. Задачи на припек можно объединить в один класс, задачи о ёмкости зернохранилищ и сосудов – в другой и т.д. Таким образом, каждая задача решается заново, без каких-либо пояснений в числах. Однако при решении вычислитель пользуется некоторыми общими законами. Так, решение первой группы задач основано на пропорциональной зависимости, второй – на формулах объема тел и т.д.

Для тренировки учащихся составлялись задачи развлекательного характера, не имевшие прямого практического применения, либо только имевшие вид практических. Наиболее яркой из них была задача на геометрическую прогрессию, - замечательная своей историей ”задача-путешественница”. В дальнейшем она с небольшими модификациями не раз встречалась в разные эпохи и у разных народов:

«Лестница дом 7

Кошка 49 1 2801

Мышь 343 2 5602

Ячмень 2401 4 11204

Мера 16807 вместе 19607».

В задаче речь идет о семи кошках в каждом из семи домов, каждая кошка съела по семь мышей, каждая из которых съела по семь колосьев ячменя; каждый же колос мог дать семь мер хлеба. Сумма домов, кошек, мышей, колосьев и мер хлеба находится путем умножения:

.

Существует несколько гипотез о том, как именно было получено данное решение. Согласно О.Нейгебауеру вычисление соответствовало схеме:

1	1	7	49	343	2401	2801	В одном доме
2	2	14	98	686	4802	5602	В двух домах
4	4	28	196	1372	9604	11204	В четырех домах
Вместе 7	7	49	343	2401	16807	19607	В семи домах

Рассмотрим задачи:

а) на геометрическую прогрессию

Задача Леонарда.

«7 старух идут в Рим, каждая из них имеет 7 посохов, на каждом посохе 7 мешков, в каждом мешке 7 хлебов, в каждом хлебе 7 ножичков, у каждого ножичка 7 ножен. Ищется сумма всего вышеперечисленного».

Леонардо дает 2 решения этой задачи:

1) Непосредственное вычисление: 7+49+343+2401+16807+117649=137256.

2) Пусть имеем только одну старуху; она имеет 7 посохов; общее число предметов . Такое же количество предметов имелось бы, если бы у нас был один посох с семью мешками. Но посохов 7, значит при семи посохах имеем посохов и мешков. К этому числу добавим 1(предположенное число старух) .

То же число предметов имеем при одном посохе с его мешками и хлебами. Для семи же посохов имеем посохов, мешков и хлебов. Присчитаем еще старуху: .

И так далее: есть число всех предметов, начиная с одной старуху и кончая всеми ее посохами, мешками, хлебами и ножами есть то же число вместе с ножнами.

Последнее число множается на 7, т.к. в действительности число старух не 1, а 7 отсюда следует, .