2 . Египетская иероглифическая нумерация была чисто аддитивной: имелись особые знаки только для единицы, десяти, ста, тысячи, десяти и ста тысяч, миллиона и десяти миллионов.

При записи числа иероглифы единицы, десятка, сотни и т.д. писались столько раз, сколько в данном числе единиц в соответствующих разрядах, причем разряды записывались в порядке, обратном нашему (египтяне писали справа налево).

Например, число 624 писали так:

У же в скорописном иератическом письме, заменившем первоначальное иероглифическое письмо, которым и написаны дошедшие до нас математические папирусы, имеются особые знаки как для первых девяти чисел, так и для десятков, сотен и тысяч.

Кроме обозначений целых чисел, египтяне имели также специальные обозначения для дробей вида и дроби ; дроби обозначались специальными иероглифами, а основные дроби вида обозначались знаком числа n, над которым ставился знак (рот- “часть”): .

3. Счет у египтян состоял из умения складывать, удваивать, дополнять дроби до единицы. Поэтому умножение на целое число и деление без остатка производились с помощью удвоения, т.е. однократного сложения числа с самим собой. Для этого множитель представляли как сумму тех или иных членов последовательности 1,2,4,8,16,…, что всегда возможно. Рассмотрим схему умножения из задачи №32 папируса Райнда, где множитель представлен в виде степеней двойки (колонка слева):

1 12 на этом процесс удвоения заканчивается, т.к. среди

2 24 степеней двойки есть уже необходимые слагаемые

/4 48 множителя, которые отмечались косой чертой.

/8 96

Сумма 144

Особо выделялись еще умножение на 10 и 5, т.е. учитывались свойства десятичной системы.

Деление производилось как действие, обратное умножению. В задаче №69 папируса Райнда, где делится , указание гласит: “Умножай 80 (буквально: складывай, начиная с 80), пока не получишь 1120”

1 80

/10 800

2 160

/4 320

________

1120.

Таким образом, непосредственно определяется сколько раз делитель содержится в делимом. Частное складывается из чисел, соответствующих слагаемым делителя, отмеченным черточкой.

Наряду с удвоением при делении употреблялось раздвоение. Например, для вычисления 2:8 пользовались схемой:

/

Деление целого числа на целое

1. 19:8.

Составим таблицу

1 8

/2 16

4

/ 2

1

В которой удвоение совершается один раз, т.к. следующее дало бы число, больше делимого.

Затем совершается деление пополам, продолжающееся до тех пор, пока справа не получится 1. Целая часть (2) находится так: вычитая из делимого (19) «частное произведение» (16), находим 3, это число нужно аддитивно составить из чисел правого столбца, т.к. последний содержит только степени числа 2, то это возможно единственным способом : 3=2+1. Отмечая соответствующие строки косыми чёрточками, находим, что частное выражается «смешанным числом» или , тогда . Так как в общем при делении целых чисел ответ не всегда будет однозначным. Например, результат деления 5:12 можно представить двояко: и , смотря по тому, как разбить число 5 на слагаемые, являющиеся делителем числа 12, т.е. представить ли его в виде 5=4+1 или 5=3+2. Кроме того, как правило, такое разбиение и не всегда возможно. Поэтому непосредственный подбор основных дробей, составляющих результат, в общем случае был очень трудным делом. Отсюда, вероятно, возникла идея составления подсобных таблиц, в которых содержались бы готовые результаты некоторых «опорных» операций.

Такой опорной операцией в египетской вычислительной технике служит деление 2:k, где k – нечетные целые числа (если k есть четное число 2 k^/, то результат сразу представляется основной дробью ^/). В самом деле, каждое целое число представляется с помощью последовательных удвоений (начиная от 1) в виде суммы степеней числа 2. Таким образом, вопрос о делении произвольного числа сводится к вопросу о делении чисел вида , например .

Источниками возникновения дробей послужили: 1) процесс дробления целого на части; 2) процесс измерения.

Самым трудным был случай нецелого деления. Общими рациональными дробями вида египтяне не оперировали. Это не значит, что они не имели вообще представления о таких дробях, они умели по-своему выражать частные вида m:n. Для этого им служили аликвотные дроби-доли единицы вида , которые принято записывать в виде (у историков математики), черточка символизирует египетский знак. Деление m:n египтяне иногда представляли как умножение ; в этом, быть может, сказалось влияние математики вавилонян, которые всегда приводили деление на целое число к умножению на обратную ему дробь.

К роме дробей вида , египтяне оперировали еще дробью , для которой имелся знак , мы будем обозначать её .

Дроби типа - натуральные дроби, имели индивидуальные названия (это были доли египетской единицы площади “сетат”).

В вычислительной технике древнего Египта появилась теоретико-числовая задача о разложении дробей на сумму аликвотных. Эта задача, не имеющая единственного решения решалась египтянами эмпирически в несколько этапов.

Самые простые разложения чиновники должны были знать наизусть, они встречались на каждом шагу. В текстах они употребляются без особых разъяснений:

И з них простыми комбинациями выводились следующие соотношения:

, (3)

, (4)

. (5)

Выражения (1) - (5) делятся на 2, 3, 4 и получается еще серия разложений:

и т.п.

Правило (3) представляет начало создания таблицы канонических разложений при удвоении дробей:

(то же, что (3)),

(разделено на 3),

(разделено на 5) и т.п.

В таблице должны содержаться разложения только для нечетных , т. к при удвоении дроби она дает просто . При удвоении дробей вида , можно пользоваться разложением

.