3. Работа. Энергия. Законы сохранения

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Краткая теория и методические указания

Ранее было показано, что при известном законе движения легко найти другие характеристики движения. Однако в ряде случаев определить закон движения оказывается труднее, чем иные характеристики, в частности, работу, энергию и т. д. Остановимся на понятии работы.

Пусть на точку a, движущуюся по криволинейной траектории, действует сила Бесконечно малый вектор , направление которого совпадает с касательной к траектории, называется перемещением точки. Вообще говоря, сила и перемещение точки составляют некоторый угол Работой силы на перемещение называется произведение проекции силы на направление перемещения на модуль перемещения Так как то  – скалярное произведение на . Работа силы на конечном участке траектории между точками 1 и 2 представляет криволинейный интеграл вдоль линии траектории.

Если на точку действует несколько сил: , то элементарная работа силы .

Работу силы на конечном участке пути можно вычислить с помощью следующих преобразований. Так как и , скалярное произведение . Работа силы на участке пути 12 , где и  –скорости точек, соответственно в конце и начале траектории. Величина называется кинетической энергии точки. Таким образом, работа силы при перемещении точки равна приращению кинетической энергии

(3.1)

В механике часто встречаются силы, работа которых не зависит от формы траектории. Это значит, что работа при переходе из положения 1 в положение 2 зависит только от этих положений. Рассмотрим работу, совершаемую постоянной во времени силой при переходе материальной точки из начала координат в некоторое положение с координатами Обозначим эту работу через . Функция называется потенциальной энергией точки и зависит при указанных условиях только от ее положения в пространстве. В этом случае работа, совершаемая силой при переходе материальной точки из положения 1 в положение 2 равна

. (3.2)

На бесконечно малом участке пути работа силы . Это равенство можно записать в развернутом виде:

Таким образом, между потенциальной энергией и силой имеется следующее соотношение:

.

В этом случае силы называются консервативными.

Сравнивая выражения (3.1) и (3.2), получим важное равенство

,

представляющее собой закон сохранения механической энергии для замкнутой консервативной энергии.

Если при переходе системы из начального положения в конечное на тела действовали внешние силы, а в системе действовали силы трения, то предыдущее равенство преобразуется к виду:

,

где  – работа внешних сил;  – работа сил трения.

Нахождение закона движения, особенно системы взаимодействующих точек (тел), иногда связано со значительными трудностями. Существуют механические характеристики, которые можно находить, не зная закона движения. Эти характеристики могут выражаться с помощью координат, скоростей, сил, перемещений и т. п., и поэтому, вообще говоря, меняются со временем. Примером служат работа и кинетическая энергия (если значение скорости точки меняется со временем, то меняется и ее кинетическая энергия). Механическая характеристика, зависящая от переменных величин (координат, скоростей и др.), при определенных условиях может оставаться неизменной во времени (сохраняются). Сформулировать закон сохранения данной физической величины – значит указать те условия, при которых она остается неизменной. Законы сохранения являются следствием основных законов механики.

С помощью закона сохранения можно характеризовать движение точек в таких задачах, в которых нахождение закона движения затруднительно или даже невозможно. Примером может служить задача о столкновении бильярдных шаров. Во время соударения шаров вследствие их упругости между ними возникают сложные взаимодействия. Однако благодаря тому, что в этом случае выполняются законы сохранения (энергии и импульса) до и после столкновения, можно определить, как будут расходиться шары, не исследуя процесса их столкновения.

Как уже отмечалось, импульсом точки называется вектор , где  – масса точки,  –  ее скорость. Импульсом системы точек называется сумма импульсов каждой точки независимо от того, есть между точками взаимодействие или нет: , где  – номера точек (если число точек , то , ,…, ). Так как , то для точки , а последнее выражение равно силе Таким образом, уравнение Ньютона можно записать в следующем виде:

(3.3)

Для системы точек имеется система уравнений:

; …; , …; .

где  – сила действия на точку остальных точек и внешних полей. Сложив левые и правые части этих уравнений, получим . Импульс сохраняется, если сумма сил, действующих на все точки системы, равна нулю, так как сохранение импульса означает, что .

Для замкнутой системы, т. е. системы точек, между которыми возможны взаимодействия, но нет сил, действующих извне, импульс так как сумма сил, действующих между точками, равна нулю.

Если в каком-либо направлении внешние силы на систему точек не действуют, проекция импульса на это направление сохраняется.

Равенство (3.3) можно записать в координатной форме: . Если сила сохраняется свое направление (подобно силе тяжести), то одну их осей координат (например, ось ) можно направить вдоль направления силы, так что и . В этом случае , , т. е. , .

Закон сохранения импульса можно применить также при действии внешних сил на систему, если взаимодействие тел системы происходит очень быстро (например, удар, взрыв, выстрел). В этом случае продолжительность взаимодействия считается бесконечно малой, поэтому можно пренебречь импульсом внешних сил и рассматривать систему как замкнутую.

Если число неизвестных больше числа составленных уравнений, нужно добавить к ним уравнения, связывающие кинематические величины, и решить полученную систему уравнений.

Момент импульса точки относительно начала координат называется вектор , где  – радиус-вектор точки массой Момент импульса системы точек называется сумма моментов импульсов каждой точки: .

Закон сохранения момента импульса можно получить из условия

.

Согласно свойству векторного произведения, первый член этой суммы равен нулю. Таким образом, . Поэтому момент импульса системы точек сохраняется, если сумма моментов сил, действующих на эти точки, равна нулю.

Если работа не зависит от пути перехода, то или Обозначим полученную сумму буквой и назовем энергией (или полной энергией): . Условие означает, что . Таким образом, энергия сохраняется, если работа, совершаемая постоянными во времени силами, не зависит от вида пути. Силы, обеспечивающие выполнение закона сохранения энергии, называются консервативными.

Если действующие на точку силы зависят от времени, но потенциальная энергия может быть введена, то энергия точки , однако закон сохранения энергии уже не выполняется.

Не выполняется закон сохранения механической энергии и тогда, когда имеется трение, так как часть ее переходит в тепловую энергию.

Если система состоит из нескольких взаимодействующих точек, ее энергия . В этом выражении потенциальная энергия складывается из энергии взаимодействия между точками системы и энергии действия внешних полей. Если система замкнута (т. е. внешние поля отсутствуют), то, поскольку силы взаимодействия между точками потенциальны и не зависят от времени (они зависят только от расстояния между точками), закон сохранения энергии выполняется.

Законами сохранения часто пользуются при анализе движения системы точек, в частности процесса соударения различают удары упругие и неупругие. При упругих ударах изменением внутренней энергии тела (в частности, его нагреванием) пренебрегают, так что выполняется закон сохранения механической энергии. При неупругом ударе часть механической энергии переходит в тепловую. В результате упругого удара тела после соударения расходятся, в результате неупругого удара они могут двигаться совместно как единое целое. Законы сохранения импульса и момента импульса при неупругом ударе выполняются.

Тела при столкновении могут соприкасаться центральной частью или нет. При некоторых ударах тело может начать вращаться вокруг своей оси, и тогда его движение нельзя описывать моделью точки.

Если количество неизвестных величин больше числа составленных уравнений, то к ним следует добавить либо уравнения, составленные на основе второго закона Ньютона, либо кинематические уравнения. Затем систему уравнений решают относительно искомых величин.