Закон Паскаля

Поместим на свободную поверхность жидкости, находящейся в равновесии в резервуаре (рис. 2.10, а), поршень и приложим к нему силу , в результате чего со стороны поршня на жидкость возникает давление . В соответствии с основным уравнением гидростатики (2.9) абсолютные давления в произвольно выбранных точках жидкости А, В, С будут соответственно равны:

Из анализа полученных уравнений видно, что абсолютные давления в точках жидкости, находящихся на разной глубине, будут различные, однако внешнее давление на жидкость, заключенную в замкнутом сосуде, передается всем ее частицам без изменения. В этом суть закона Паскаля.

Практически закон Паскаля используется в ряде гидравлических машин: гидравлических прессах и подъемниках, объемных насосах и гидродвигателях (см. главы 10 и 14) и др.

На рис. 2.10, б приведена принципиальная схема гидравлического пресса. Прикладывая к меньшему поршню силу , создаем в жидкости давление

P=P₁:F₁ которое в соответствии с законом Паскаля передается большему поршню, вызывая силу P₂ = pF₂. Если пренебречь сопротивлениями, то

Силы давления покоящейся жидкости на плоские стенки

Выделим на плоской боковой стенке сосуда (рис. 2.11), наклоненной в общем случае к горизонту под углом , произвольную фигуру площадью F и опре­делим действующую на нее со стороны жидкости силу давления Р.

Д ля наглядности совместим рассматриваемую стенку с плоскостью чертежа (т. е. повернем ее на 90° вокруг оси у).

Так как давление жидкости в различных по высоте точках площади F разное, то выделим на этой площади элементарную площадку, находящуюся на расстоянии h от свободной поверхности жидкости или y=h/sin от оси х. Для такой бесконечно малой площади давление во всех ее точках одинаково и равно:

P = gh = gsin

следовательно, сила давления жидкости на элементарную площадку будет

Сила давления на всю рассматриваемую площадь F

Выражение представляет собой статический момент рассматриваемой площади относительно оси х, который равен произведению площади этой фигуры F на расстояние от ее центра тяжести до оси

Таким образом, или, заменяя ,получим

Из уравнения (2.22) видно, что сила давления жидкости на плоскую стенку Р равна произведению смоченной жидкостью площади стенки F на гидростатическое давление в ее центре тя­жести

Если на свободную поверхность жидкости действует давление, отличное от атмосферного, силу давления на стенку можно найти по формулам:

где - соответственно манометрическое давление и вакуум на свободной поверхности жидкости.

В ряде случаев, кроме значения силы давления жидкости на стенку, необходимо знать координаты Точки ее приложения — центра давления.

Предположим, что сила давления Р приложена в точке D, находящейся от оси х на расстоянии . В соответствии с теоремой Вариньона о моменте равнодействующей (момент равнодействующей силы относительно какой-либо оси равен сумме моментов составляющих сил относительно той же оси)

или

З аменив в последнем выражении Р и их значениями, получим

В ынесем постоянные за знак интеграла и сократим их с аналогичными величинами в левой части уравнения

Выражение представляет собой момент инерции площади фигуры относительно оси который может быть выражен через момент инерции относительно центральной оси, параллельной оси х, следующим образом

Из уравнения (2.25) видно, что центр давления для плоской стенки находится всегда ниже ее центра тяжести.

Горизонтальная координата центра давления находится на оси симметрии площади фигуры.

В частном случае, когда , т. е. для горизонтального дна сосуда, расстояние от свободной поверхности до центра тяжести площади будет равно высоте жидкости в сосуде Я, поэтому сила давления жидкости на дно сосуда

Из этого выражения видно, что различные по форме сосуды, имеющие одинаковые площади доньев и заполненные одинаковой жидкостью на одну и ту же высоту, будут иметь одинаковую силу давления на дно независимо от формы сосуда и количества находящейся в нем жидкости (гидростатический парадокс). Центр давления, для дна сосуда совпадает с центром тяжести площади.

Силы давления покоящейся жидкости на криволинейные стенки

При криволинейной стенке определение значения, направления и точки приложения силы давления жидкости усложняется, так как элементарные силы давления, действующие нормально на каждую элементарную площадку стенки, имеют разные направления. В этом случае с целью упрощения (чтобы избежать интегрирования по криволинейной поверхности) приходится определять вначале составляющие силы давления по заданным направлениям,

например по осям координат х, у,z, а затем находить результирующую силу давления

Практически приходится иметь дело с криволинейными стенками, представляющими собой поверхности вращения (сферу, цилиндр, конус) и имеющими ось симметрии, лежащую в плоскости, нормальной к стенке, что существенно упрощает определение силы давления жидкости.

Определим силу давления жидкости Р на криволинейную стенку цилиндрической формы, след которой на рис. 2.13— линияMN.

Как и в предыдущем случае, выделим на стенке элементарную площадку dF (след ее на рис. 2.13 -—линия MN), находящуюся на расстоянии z от свободной поверхности. Сила давления Жидкости на эту элементарную площадку

Разложим dP на две взаимно перпендикулярные составляющие: горизонтальную и вертикальную и просуммируем отдельно все горизонтальные и все вертикальные составляющее_;^: Ввиду малости элементарной площадки примем ее за плоскую и спроектируем на горизонтальную ;и вертикальную.; плоскости ..- Проекции. dF будут: ;- и

Найдем горизонтальную составляющую силы давления жидкости на криволинейную стенку _, которая представляет собой сумму всех элементарных горизонтальных составляющих Так как, dP_x =dPcosα=ρgzdFcosα=ρgzdF_z

где — статический момент площади вертикальной проекции криволинейной стенки относительно оси х, проходящей по свободной поверхности жидкости;

— площадь вертикальной проекции смоченной жидкостью криволинейной стенки;

— расстояние центра тяжести от свободной поверхности жидкости. Тогда

P_x = gh_c F_z (2.27)

Таким образом, горизонтальная составляющая силы давления жидкости на криволинейную стенку равна силе давления жидкости на ее вертикальную проекцию [сравните уравнения (2.27) и (2.22)].

Найдем вертикальную составляющую силы давления жидкости на криволинейную стенку , которая представляет собой сумму всех элементарных вертикальных составляющих . Так как

dP_z =dPsin=gzdFsin=gzdF_x=gdV

где элементарный объем жидкости, основанием которого является площадка , а высотой — расстояние от этой площадки до свободной поверхности жидкости z, то, проинтегрировав по всему объему V, получим

Таким образом, вертикальная составляющая силы давления жидкости на криволинейную стенку равна силе тяжести жидкости в объеме V, называемом телом давления.

Результирующая сила давления жидкости на криволинейную стенку цилиндрической формы Р равна геометрической сумме составляющих

и направлена под углом а к горизонту

Для нахождения тела давления можно воспользоваться следующим определением: тело давления - это объем ограниченный рассматриваемой кривoлинейной стенкой, смоченной жидкостью, вертикальной цилиндрической поверхностью, проведенной через контур этой стенки, и горизонтальной плоскостью, про­веденной по свободной поверхности жидкости.

Тело давления условно считается реальным, если его объем, прилегающий к стенке, заполнен жидкостью; составляющая при этом направлена вниз. Тело давления условно считается фиктивным, если его объем, прилегающий к стенке, не заполнен жидкостью; составляющая Р_z при этом направлена вверх.

На рис. 2.14 приведено несколько примеров тел давления для криволинейных стенок различной формы.

Пример. Определить силу давления нефти Р на цилиндрическую стенку резервуара (рис. 2.15) и угол наклона линии действия этой силы к горизонту ,если радиус стенки м, ширина стенки м, высота нефти в резервуаре . Относительная плотность нефти

Вертикальная проекция криволинейной стенки представляет собой прямоугольник, площадь которого равна

Расстояние центра тяжести от свободной поверхности нефти равно

Тело давления представляет собой разность объемов параллелепипеда высотой H , шириной В и длиной R и четверти цилиндра с радиусом R и шириной В.

Таким образом, по уравнениям (2.27)—(2.29):

Угол наклона линии действия силы давления к горизонту определим из уравнения (2.30)