Задача 1
Консольный
стержень прямоугольного сечения на
свободном конце нагружен сосредоточенной
силой F=10кН, вектор
которой проходит через центр тяжести
сечения под углом 30˚ к вертикальной оси
y. Длина стержня
,
а соотношение сторон прямоугольного
сечения
.
Стержень изготовлен из стали Ст3 с
допускаемым напряжением [σ]=160МПа.
Требуется:
Определить из условия прочности по допускаемым напряжениям величину характерного размера прямоугольного сечения [b].
Заменив прямоугольное сечение стержня круглым, определить величину диаметра круглого сечения [d] из условия прочности.
Сравнить металлозатраты стержней прямоугольного и круглого поперечных сечений.
РЕШЕНИЕ
Определим положение опасного сечения. Для этого спроектируем силу F на главные центральные оси Х и Y поперечного сечения:
кН;
кН.
Затем от каждой из этих сил построим
эпюры изгибающих моментов на одной
базе МY и
МХ, соответственно.
Опасное сечение будет в заделке, т.е. в том сечении, где моменты достигают своего максимального значения.
Определим положение силовой линии в опасном сечении. Для этого изобразим сечение, в плоскости которого отложим в масштабе значения изгибающих моментов МY и МX в ту же сторону, что на эпюрах соответствующих моментов: МY отложим влево, а МX отложим вниз. Т.к. эпюры построены на сжатых волокнах, то сжаты левые волокна стержня относительно оси «у» от действия момента МY и, соответственно, там поставим знаки «–» во II и III четвертях сечения, а в противоположных I и IV знаки «+» (нумерацию четвертей прямоугольника смотри ниже). Также сжаты нижние волокна стержня относительно оси «х» от момента МX и, соответственно, поставим знаки «–» нормального напряжения в Ш и IV четвертях, а в верхних – I и II четвертях знаки «+». Тогда ордината суммарного момента пройдет через I и III четверти и определит положение силовой линии. В этих же четвертях совпадают знаки нормальных напряжений от изгибающих моментов МX и МY:
Определим положение опасных точек в опасном сечении. Это будут угловые точки в силовых четвертях, т.е. точки «В» и «С». Точки являются равноопасными точками, т.к. величины напряжений в них будут одинаковыми по абсолютной величине. В точке «С» – угловой точке третьей четверти с двумя знаками «–» нормальных напряжений от двух прямых изгибов возникает максимальное сжимающее напряжение. Противоположная ей точка «В» попала в область растяжения (два знака «+» от прямых изгибов) и напряжение в ней будет положительным:
.Запишем условие прочности для опасных точек и определим из его решения величину размера поперечного сечения:
.
Предварительно выразим моменты сопротивления поперечного сечения через характерный размер b.
; 
.
После подстановки численного значения изгибающих моментов в сечении заделки и выражений для моментов сопротивления через размер b получим:
,
откуда
.
Для определения диаметра круглого сечения для данного стержня определим внутренний изгибающий момент в заделке:
.
В плоскости опасного сечения проведем
ординату максимального момента под
углом в 30˚ к оси y и продлим ее до
пересечения с контуром сечения. Это и
будет силовой линией. Нейтральная линия
проходит перпендикулярно силовой
линии. Опасными точками будут точки,
расположенные на максимальном расстоянии
от нейтральной линии. Это точки «К» и
«L», находящиеся на концах диаметра,
совпадающего с силовой линией. Направление
вектора внешней силы F указывает
на сжатую зону. Т.е. половина сечения
выше нейтральной линии растянута и
точка «К» испытывает положительные
напряжения. Соответственно,
точка «L» – отрицательные напряжения.
Запишем условие прочности по формуле прямого изгиба:
.
Для круглого сечения момент сопротивления через диаметр определяется как:
Подставив в условие прочности значение момента и выражение для WX, получим:
,
откуда
.
Сравним стержни прямоугольного и круглого сечений по металлозатратам. Для этого определим площади сечений:
,
т.е. для случая косого изгиба (прямоугольный профиль) требуется большее по площади сечение, что указывает на более опасный характер этого вида деформации для данных исходных условий.
Задача решена. INCLUDEPICTURE "http://www.smayli.ru/data/smiles/emocii-2046.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.smayli.ru/data/smiles/emocii-2046.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.smayli.ru/data/smiles/emocii-2046.gif" \* MERGEFORMATINET