Теория катастроф — математическое обобщение анализа сложных процессов

Теория катастроф (ТК) — теория особенностей гладких отображений, сформулирована на стыке топологии и математического анализа. Первые результаты качественного изучения поведения решений систем дифференциальных уравнений получены А. Пуанкаре, А.М. Ляпуновым  100 лет тому назад. Вклад в развитие их идей внесли А.А. Андронов и Л.С. Понтрягин (понятие грубости — структурной устойчивости системы). Интенсивное развитие Т.К. началось с 50-х годов после работ Р. Тома. Математически теория катастроф является обобщением исследований функций на максимумы и минимумы. Точки “особенностей” функций, где наблюдаются “катастрофы” — резкие изменения режима функционирования систем, где она перестает подчиняться линейным законам и проявляется связь с параметрами (условиями внешней среды и пр.). Некоторые выводы теории катастроф можно сформулировать в виде универсальных законов, пригодных для анализа любых явлений нашего мира.

ТК исследует динамические системы, составляющие широкий класс нелинейных систем, описываемых уравнением вида:

где x_i – переменные, характеризующие состояние системы, c_ набор параметров задачи (управляющие параметры)

В элементарной теории катастроф рассматривается частный случай динамических систем: предполагается , что существует потенциальная функция – аналог потенциала электрического поля f_i = и что система находится в состоянии равновесия (x_i=0).

Задача заключается в исследовании изменений состояний равновесия x_i(c_) функции U(x_i,c_) при изменении управляющих параметров c_.

Элементарная Т.К. является в известной степени обобщением задач на экстремум в математическом анализе.

В случае одной переменной поведение функции определяется невырожденными критическими точками max и min при равенстве нулю первой производной и второй производной отличается от нуля. Сама функция в окрестности невырожденной критической точки может быть приведена к виду U= подходящей гладкой (имеющей производные любого порядка) заменой переменных .

Аналогично в многомерном случае для критических точек, определяемых обращением в нуль первой производной и отличным от нуля аналогом второй производной, гессианом (детерминантом набора величин , det U_ij  0), существует гладкая замена переменных , в результате которой в окрестности невырожденной l переменных соответствующих нулевым собственным значениям матрицы U_ij являются аргументами функции катастрофы Cat(x_l,c_), зависящий также от  управляющих параметров. Зависимость потенциальной функции от оптимальных n-1 переменных, соответствует отличными от нуля собственным значениям, представляется, как и раньше, квадратичной формой.

Функции Cat(x_l,c_) можно привести к определенному каноническому виду. Классификация особенностей потенциальных функций (катастроф) была проведена В. И. Арнольдом. (Удивительно, что она совпала с классификацией точечных групп первого рода, характеризующих симметрию молекул; оказалась связанной с правильными многогранниками в эвклидовом пространстве и простыми группами. причины связи не понятны)

Для одной или двух переменных и числа управляющих параметров, не превышающего 5, имеется 7 типов элементарных катастроф. Для каждого типа катастроф рассматривается поверхность, зависящая от n_i переменных состояния и n_x числа управляющих параметров в пространстве n_i+n_ измерений Cat(x,c).

Поверхность простейшей катастрофы с одной переменной и одним управляющим параметром.

C >0 C=0

C<0

C

Она имеет вид складки на ткани и называется катастрофой складки. Каноническая форма Cat(x,c)=1/х³+сх. При с0 все кривые качественно подобны: не имеют критических точек. Кривые с0 — подобны тем, что имеют две критические точки. Точка с=0 в пространстве управляющих параметров сепаратрисой.

Катастрофа сборки Cat(x,a,b)= . Одна переменная состояния и две управляющих параметра.

Буфуркации. Динамический хаос.

Теория катастроф задает статистическую картину, определяя область существования различных структур, границы их устойчивости. Для изучения динамики системы Т.К. необходимо дополнить положениями о том, каким именно образом новые решения от некоторого известного при изменении параметра. Это предмет теории буфуркаций. Буфуркация — процесс возникновения нового решения уравнения при некотором критическом значении параметра.

Изменения управляющих параметров могут вызвать большие изменения (катастрофический скачок) переменных состояния. Происходит резкий скачок переменных состояния в сверхбыстрой временной шкале, что соответствует переходу из одного локального минимума в другой.

Состояние физической системы, описываемой потенциалом U(xi,c_) задается точкой {x₁}, в которой потенциал имеет минимум. Изменение внешних условий приводит к изменениям управляющих параметров, что в свою очередь, влияет на вид потенциальной функции U(xi,c_). Глобальный минимум, определявший состояние системы, может стать метастабильным локальным минимумом или даже совсем исчезнуть. Система должна перескочить из одного локального минимума в другой. Момент перехода зависит от свойств системы и уровня флуктуаций. В предельных случаях могут быть использованы два принципа.

Принцип максимального промедления определяется существование устойчивого или метастабильного уровня. Принцип Максвелла — состояние системы определяется глобальным минимумом. Моменты перехода показаны стрелкой. Реальный момент перехода между значениями, определяемыми этими двумя принципами, каждому из которых соответствует свое множество точек в пространстве управляющих параметров, в которых происходит переход из одного локального минимума в другой (буфуркационное множество).

В большом числе случаев система может быть описана вероятностной функцией распределения, связанной с потенциальной функцией.

(информация после достижения ЗАДАННОГО состояния равного нулю)

(КОНЕЧНОЕ состояние не задано, переход от одного относительно устойчивого состояния к другому полуслучаен — зависит от внешних влияний)

Таким образом, все траектории притягиваются к предельному множеству (аттрактору). Структура последнего может быть довольно сложной, начиная от точки покоя или предельного цикла (регулярные аттракторы) и кончая полным перемешиванием траекторий (странный аттрактор). Размерность странного аттрактора всегда меньше размерности фазового пространства. Это, действительно, довольно странные объекты: ни точки, ни линии, ни поверхности, ни объемы, а что-то промежуточное, имеющее дробную (фрактальную) размерность.

Проследим математические закономерности эволюции и перехода порядка в хаос на конкретном примере. Пусть на изолированном острове выводятся летом насекомые численностью х_j и откладывают яйца. Потомство их появится на следующее лето численностью х_j+1. Рост популяции насекомых описывается первым членом в правой части уравнения х_j+1= сх_j(1–х_j), а убыль – вторым. Параметр роста с является аналогом числа Re в уравнениях гидродинамики, результаты расчета показаны на рис. , где линии отражают численность популяции при больших значениях j.

При с 1 популяция при увеличении j вымирает и исчезает. В области 1 с 3 численность приближается к значению х=1–(1/с), которое получается при подстановке в уравнение вместо х_j+1 и х_j их предельных значений; эта область стационарного состояния. Следующий диапазон 3 с  3,4 соответствует двум ветвям решения, и численность колеблется между ними. Она растет резко от малого значения, и откладывает много яиц. Но перенаселенность, возникающая на следующий год, вновь резко снижает численность в следующем году до малого значения, так что период колебаний численности равен двум годам. Далее, при 3,4  с  3,54 имеем уже четыре ветви, и возникает четырехстадийный цикл колебаний. Так период начинает удваиваться, и далее появляются 8, 16, 32, 64... ветвей.

Таким образом, существует диапазон значений параметра с, когда поведение системы упорядоченно и периодично; происходит последовательное удвоение периода. Такие решения имеют место для широкого класса систем: химических, электрических, гидродинамических, механических и т. д. В 1978 г. М. Фейнбаум нашел универсальные законы перехода к хаотическому состоянию при удвоении периода. Движение становится апериодическим при больших значениях n, (с_j–c) порядка ^-n, где n=4,66 для всех систем. Если выбрать соседние значения х_j в 2ⁿ цикле, то разность между ними убывает с ростом n как ⁿ, где =2,5 и тоже является универсальным.

Законы Фейгенбаума подтверждены на опытах в совершенно различных по своей природе системах. Иногда их называют (из-за удвоения) законами каскадов Фейгенбаума (рис. ).

Рис. Зависимость стационарной численности популяции от параметра скорости роста.

При с = 3,57 период уже стремится к бесконечности, движение становится апериодическим, поведение системы – хаотическим, происходит перекрытие различных решений. Все расчеты на ЭВМ делаются некорректными, зависящими от случайных процессов в самой вычислительной машине, решения для близких начальных условий оказываются далекими.

1. Значение разработки “теории катастроф” приравнивают к значению создания интегрального и дифференциального исчисления Ньютоном, так как разработанные методы позволяют быстро, наглядно и достаточно точно проводить анализ самых разнообразных явлений — от абстрактной физики до социальных явлений..

1. В окрестностях некритической точки приращение функции почти пропорционально приращению аргумента — то есть на ограниченном участке кривую зависимости интересующей нас величины от изучаемого параметра можно представить линейной зависимостью — увеличение параметра пропорционально увеличивает зависимую величину (например, увеличение зарплаты стимулирует старательность работников).

2. В окрестностях максимума или минимума (экстремума) приращение типичной функции почти пропорционально квадрату приращения аргумента. Так, небольшое увеличение параметра почти не влияет на изучаемую величину, а большое ведет к снижению.

3. Типичная плоская кривая касается прямой не более чем в двух точках (от других касаний можно избавиться “малым шевелением” кривой).

А

А

А

А

общая модель глобальных перестроек

любых систем

4. Типичная поверхность не касается прямой более чем в четырех точках. Особенными, “нетипичными” являются простые объекты — плоскость и цилиндр — поверхности, “типичные” для ранее абстрактной математики, но не для реальной жизни.

При плавном переходе от одного режима к другому необходимо временное ухудшение — это хорошо известно в социологии на примере революций и больших экономических потрясений. Однако, как будет видно ниже, возможно перейти к новому режиму без катастроф, если “обойти” точку снижения. Это возможно, так как сама приведенная выше кривая является, по существу, проекцией на плоскость трехмерной фигуры, включающей как новый, так и старый режимы. В общем случае, таким образом, для исключения катастроф следует избрать иной путь, стабилизировав исходный параметр и изменяя исследуемую величину по другому параметру — в “другом измерении”. В трехмерном пространстве существует небольшое число типичных поверхностей-моделей универсального перехода для двухпараметрических функций наиболее частые: (ласточкин хвост” и “зонтик Уитни” — универсальные поверхности, отражающие зависимость оптимальных значений от параметров; трехмерные модели для двух параметров).

5. Еще более простые картины получаются при проектировании поверхностей на плоскость. Так, в общем случае проекция представляет собой “сборку” — треугольник, или, для “нетипичной” поверхности — шара, “складку” — окружность. Граничные точки таких поверхностей являются проекциями на одну точку двух с проектируемой модели, т.е. являются “линиями катастроф”.

6. Расстояние от исчезающего локально-оптимального режима до движущейся ему навстречу локально-минимального порядка квадратного корня из отличия параметров от катастрофического значения. Этот закон описывает момент катастрофы — смену критических режимов. Видно, что в момент катастрофы оба режима — старый и новый — сближаются с бесконечной скоростью. Поэтому, в частности, трудно бороться с надвигающейся катастрофой, когда появились ее первые признаки. Лучше обойти катастрофический режим, для чего следует изменить набор параметров, вводя новый параметр и перейдя на более высокий уровень — на большую размерность.

Типичные поверхности — модели универсальных переходов

(для 2-х параметров в 3-х мерности)

проекция типичных поверхностей на плоскость

Понятие фрактала. Мы рассматриваем природные явления, основываясь на линейном приближении. Любой нелинейный процесс приводит к ветвлению. Система осуществляет выбор при каждом ветвлении, последствия этого выбора предсказать невозможно, т. к. существует усиление. хотя в каждый момент причинная связь сохраняется, но после ряда ветвлений начальная информация становится бесполезной.

Понятие фрактала введено Б. Мандельбротом. Этим словом обозначен широкий класс естественных и искусственных топологических форм, главной особенностью которой является самоподобная, иерархически организованная структура.

Самоподобие подразумевает, что внешние, с точки зрения формы, фрактальные объекты состоят из большого числа точечных статистических копий самих себя, которые последовательно обнаруживаются на все более подробных масштабных шкалах. Геометрическая модель фрактала ассоциируется с утонченным узором и может проявлять удивительное разнообразие, несмотря на простейший алгоритм образования.

Фрактальным строением обладает большое количество природных объектов (крона дерева, облака, вихри в атмосфере, в воде). Наиболее отчетливо фрактальные структуры наблюдаются при рассмотрении береговой линии морей.

Кровеносная система обладает фрактальной структурой: 2 < D < 3.

С точки зрения математики, фрактал – непрерывная, но бесконечная изрезанная функция, не имеющая ни в одной точке производной (Веерштрасс).

Выделяются также фрактальные процессы. Для оценки фрактальных стохастических процессов пользуются спектральной зависимостью I  f^- D=(5-)/2 или скейлинговым соотношением (среднеквадратичных отклонений) V(t²)  t^2H.

Фрактальные представления позволяют оценить переходы хаоса в порядок и наоборот.

Элементы синергетики.

Возникла в 70-е годы 20 века, в 1972 году, когда прошел первый международный конгресс по синергетике.

Основная цель синергетики – проследить переходы от плавного развития через катастрофы к качественно новым изменениям. Наряду с адаптационными процессами происходят резкие изменения, приводящие к разрушению старых систем и появлению на их оболочках новых. Моменты или условия гибели старого можно предсказать, но процессы нового не представляют возможности описать в рамках как динамических, так статических закономерностей. В условиях катастрофы перестают действовать причинно-следственные связи, привычные обычной логике. Все макроскопические параметры совершают флуктуации от положительного равновесия, в обычной положительной флуктуации не оказывая влияния на эволюцию в системе. Анализ показывает, что шумовая окружающая среда, вызывающая флуктуации увеличивает информационную избыточность системы и вызывает организацию.

Самоорганизация- появление макроскопических упорядоченных структур в первоначально бесструктурной среде, причем под структурой понимаются не только статичные неподвижные образования, но и процессы (упорядоченные движения, автоколебания или вихри).

Синергетика- метод формального описания явлений становления сложных систем, выделяющихся самопроизвольно из окружающей среды.

Сложная система - составной объект, части которого можно рассматривать как отдельные системы, объединенные в единое целое в соответствии с отдельными признаками и связанные между собой заданными отношениями.

Вся природа подчиняется синергетическим принципам.

Синергетика- это теория самоорганизации, формальное учение о самоорганизации сложных систем, превращении хаоса в порядок.

Развитие синергетики идет по нескольким направлениям:

1.Неравновесная термодинамика.

Термодинамика изучает открытые системы в состояниях далеких от равновесия. Основной задачей является доказательство того факта, что неравновесие может быть причиной порядка, система неравновесной термодинамики должна быть открытой и иметь приток вещества и энергии извне, а также поддерживать упорядоченность.

Условие формирование новых структур - это открытость системы, ее нахождение вдали от точки равновесия и наличие флуктуаций. Развитие систем протекает по единому алгоритму. В основе его – самоорганизация, протекающая в критических точках систем.

2. Синергетика.

Процессы эволюции и деградации. Хаос не только разрушителен, но и сознателен. Развитие происходит через неустойчивость (хаотичность).

Процессы упорядоченности имеют единственный алгоритм независимо от природы, специфики и характера систем. Эволюция большинства сложных систем имеет нелинейный характер, т.е. существует несколько возможных вариантов развития. Возникновение структур, возрастание сложности – закономерность, т.е. случайность, встроена в механизм эволюции.

Синергетика является составной частью научного образа мира, потому что сформулировала основную тенденцию развития в природе: создание сложных систем из более простых и определила основные принципы эволюции материальных систем, тем самым идеи синергетики приобрели междисциплинарный, общенаучный характер. Они являются основой глобального синтеза знаний в науке, основанного на нелинейном мышлении.