Лабораторная работа №1 приближенное вычисление определенного интеграла

1. Теоретическая часть

Пусть требуется вычислить определенный интеграл I = ,

где f (x) – непрерывная на отрезке [a, b] функция. Если можно найти первообразную F (x) от функции f (x), то этот интеграл вычисляется с помощью формулы Ньютона-Лейбница: I = F (b) – F (a). Если же первообразная не является элементарной функцией, или функция f (x) задана графиком или таблицей, то формулой Ньютона-Лейбница воспользоваться уже нельзя. В этом случае определенный интеграл вычисляют приближенно. Приближенно вычисляют определенный интеграл и тогда, когда первообразная F (x) хоть и является элементарной функцией, но точные ее значения F (b) и F (a) получить не просто.

Приближенные методы вычисления определенного интеграла главным образом основаны на геометрическом смысле определенного интеграла: если f (x) ≥ 0, то интеграл I равняется площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = f (x) и прямыми

х = а, х = b, y = 0.

Идея приближенного вычисления интеграла лежит в том, что заданная кривая у = f (x) заменяется новой линией, «близкой» к заданной. Тогда искомая площадь приближенно равна площади фигуры, ограниченной сверху этой линией.

Формула прямоугольников

Определение определенного интеграла как предела интегральных сумм

= ,

не зависящих ни от выбора точек x_k, k = 1, 2, … , n, разбиения отрезка [a, b] на частичные отрезки [x_{k – 1}, x_k] , ни от выбора точек ξ_k, k = 1, 2, … , n, внутри этих отрезков (ξ_k [x_{k – 1}, x_k]) позволяет, во-первых, разбить отрезок на равные частичные отрезки, во-вторых, выбирать точки ξ_k удобным для вычислений образом.

Рис.1. Рис.2. Рис.3.

Пусть требуется вычислить определенный интеграл от непрерывной на отрезке [a, b] функции f (x). Поделим отрезок [a, b] на n равных частей точками

x_k = a + k, k = 0, 1, … , n,

и найдем значения функции f (x) в этих точках:

f (x₀) = у₀, f (x₁) = у₁, … , f (x_n) = у_n.

Заменим заданную криволинейную трапецию (рис.1) ступенчатой фигурой, которая состоит из n прямоугольников. Основания этих прямоугольников одинаковы и равны , а высоты совпадают со значениями у_i в начальных точках частичных интервалов. Площадь ступенчатой фигуры и будет приближенно равна значению определенного интеграла:

≈ ( у₀ + у₁ + … + у_{n – 1}) = . (1)

Если взять высоты прямоугольников, равными значениям у_i в конечных точках частичных интервалов (рис.2), то

≈ ( у₁ + у₂ + … + у_n) = . (2)

При выполнении лабораторной работы предлагается взять высоты прямоугольников, равными значениям функции в точках с_i = (серединах отрезков [x_{k – 1}, x_k]) (рис.3); тогда

≈ ( с₁ + с₂ + … + с_n) = . (3)

Формулы (1)–(3) называются формулами прямоугольников.