Требования к линиям ргр-2

№ п/п	Линии в РГР	Тип и толщина линии, мм	Цвет линии
1	Оси i-i,х,х1...	0,4	Черный
2	Начальных условий видимые	0,8	Черный
3	Начальных условий невидимые	Штриховая 0,4	Черный
4	Натуральные Величины	0,8	Красный
5 ’	Дополнительные Построения	0,2	Черный
6	Линии связей	0,2 (длина 5-7 мм)	Черный
7	Точки A B,...	О 0,2 (диаметр 1-2мм)	Черный

2.3. РГР-3 – «Пересечение поверхностей и развертки»

РГР-3 выполняется на миллиметровой бумаге формата А3 в карандаше. Исходные данные приведены в прил. 3.

Состав задания. По исходным данным (два пересекающихся тела λ и μ) построить развертку, используемую для создания опоки при отливке корпуса регулятора подачи жидкости.

Выполнение РГР № 3 сводится к решению следующих частных задач:

- построить линию пересечения поверхностей λ и μ;

- построить развертку одной из поверхностей (λ или μ) с учетом линии их пересечения.

Построение линии пересечения.

Определение линии пересечения двух тел зависит от типа пересекаемых тел и может определятся различными способами основными из которых являются: пересечение гарных поверхностей; определение линии пересечения с использованием секущих плоскостей; определение линии пересечения с использованием секущих сфер.

Пресечение гарных поверхностей. По своей форме линия пересечения многогранников будет замкнутая пространственная ломаная, состоящая из отрезков прямых, по которым пересекаются плоскости граней. Точки излома будут принадлежать ребрам многогранников.

Рассмотрим построение линии пересечения на примере шестигранной пирамиды SKLMNPR с трехгранной призмой ABCDEF (рис. 15).

Для ее построения необходимо выделить ребра и грани, участвующие в пересечении. Здесь это ребра пирамиды (SK, SL, SM, SN, SP, SR) и грани призмы (ABFE, EFCD). Кроме того, следует отметить, что ребра SK и SN пирамиды пересекаются только с ребром EF призмы.

Рис. 15

Определение положения точек излома сводится к определению положения точек встречи прямых с плоскостями (точки 1, 2, 4 и 5) и точек пересечения пересекающихся прямых (точки 3 и 6). В первом случае за плоскости принимают грани призмы, а за прямые – ребра пирамиды, через которые проводится вспомогательная проецирующая плоскость-посредник а.

Во втором случае за прямые принимают пересекающиеся ребра многогранников.

При определении положения точек излома целесообразно выбирать направление их обхода по часовой или против часовой стрелки (в примере – по часовой стрелке), что позволяет избежать ошибок в построениях.

Видимость линии пересечения определяется с помощью конкурирующих точек.

Определение линии пересечения с использованием секущих плоскостей. Этот способ используется, когда одно из тел является телом вращение, другое тело – гарнное. Также этот способ используется если оба тела являются телами вращения, а их оси вращения либо параллельны, либо пересекаются (скрещиваются) под прямым углом.

В случае пересечения двух тел вращения образуется пространственная кривая четвертого порядка.

В качестве плоскости-посредника (рис. 16) целесообразно использовать горизонтальную плоскость уровня α, т.к. она рассекает обе поверхности по окружности.

Методика определения точек линии пересечения поверхностей аналогична методике, приведенной выше (см. пересечение многогранника с поверхностью второго рода).

При построении линии пересечения (рис. 16) опорными точками являются:

- точки 1 и 2 как точки пересечения фронтальной очерковой конуса с главным меридианом сферы;

- точки 3 и 4 как точки пересечения экватора сферы с конусом (точки смены видимости линии пересечения на горизонтальной плоскости проекций).

А промежуточными точками были выбраны точки 5, 6, 7 и 8.

По этим точкам, с учетом видимости, строится линия пересечения конуса и сферы:

– на фронтальной проекции видна ближняя часть кривой (1₂-4₂-6₂-2₂) и не видна дальняя (1₂-3₂-5₂-2₂);

– кривая пересечения поверхностей на фронтальной проекции симметрична, значит (1₂-4₂-6₂-2₂) ≡ (1₂-3₂-5₂ -2₂);

– на горизонтальной проекции видна часть кривой (3₁-7₂-1₁-8₁-4₁), расположенная выше экватора сферы, а часть кривой (3₁-5₂-2₁-6₁-4₁), расположенная ниже экватора сферы.

Рис. 16

Определение линии пересечения с использованием секущих сфер. Способ вспомогательных сфер применяется для построения линии пересечения поверхностей тел вращения, имеющих пересекающиеся оси. Кроме того, оси этих тел параллельны одной из плоскостей проекций т.е. образуют плоскость уровня.

Рассмотрим построение линии пересечения на примере конуса и цилиндра (рис. 17).

Выберем центр вспомогательных сфер в точке пересечения осей заданных поверхностей (точка О).

Рис. 17

Опорные точки 1 и 2 на очерковых образующих, расположенные в одной плоскости, определяются непосредственно. Линия пересечения заключается между этими точками. Одна из них определяет максимальный радиус вспомогательных сфер R_max = O₂1₂ (наиболее удаленная фронтальная проекция от точки пересечения осей О₂). Минимальный радиус R_min берется наибольшим радиусом сферы, которую можно вписать в одну из заданных поверхностей, при этом пересекая другую поверхность.

Для построения промежуточных точек проводят несколько вспомо­гательных сфер (R_min<R<R_max). Эти сферы пересекают заданные поверхности по окружностям b и п. Окружности b и п, пересекаясь, дают дополнительные точки линии пересечения 3 и 4, проекции которых определяются вначале на π₂ (b₂∩п₂=3₂ и b₂∩п₂=4₂), а затем на плоскости π₁ как точки окружностей радиусами r.

Полученные точки (опорные и промежуточные) последовательно соединяют на фронтальной и горизонтальной проекциях.

На фронтальной проекции видна ближняя часть кривой (1₂-4₂-2₂) и не видна дальняя (1₂-3₂-2₂). Кривая пересечения поверхностей симметрична, значит (1₂-4₂-2₂)≡(1₂-3₂-2₂). На горизонтальной проекции видна часть кривой (... -3₁-1₁-4₁- ...), проекции точек которой расположены выше фронтальной проекции оси симметрии наклонного цилиндра. В этом случае границей видимости линии пересечения на горизонтальной проекции служат точки на горизонтальных проекциях очерковых образующих наклонного цилиндра.

Построение развертки.

Развертка пирамиды. Развертка пирамиды относится к точным разверткам. Ее получения основывается на способе построения треугольника по трем известным сторонам, где в качестве сторон треугольника используются натуральные величины ребер пирамиды.

Поэтому для построения развертки пирамиды (рис. 18) необходимо найти натуральные величины ее боковых ребер и основания.

Основание пирамиды представляет собой треугольник, изображенный в натуральную величину на плоскости π₁, так как является горизонтальной плоскостью уровня.

Для определения натуральных величин боковых ребер воспользуемся способом прямоугольного треугольника. Так в треугольнике ∆S₀S₁¹B₁¹ катет S₁¹B₁¹ равен горизонтальной проекции ребра S₁B₁, а катет S₀S₁¹ – разности координат по оси 0Z его концов. Следовательно, гипотенуза S₀B₁¹, этого треугольника, есть натуральная величина ребра SB. Аналогично находятся и другие натуральные величины ребер.

После определения натуральных величин ребер строится развертка боковой поверхности пирамиды. Для этого на любом из ребер, например, S₀A₀ (или отдельно), последовательно строятся треугольники каждой грани по трем известным их сторонам: ∆S₀A₀B₀ → ∆S₀B₀C₀ → ∆S₀C₀A₀. Следует помнить, что построение боковых граней заканчивается тем же ребром, с которого начинается построение развертки боковой поверхности пирамиды. После построения боковой поверхность пирамиды к любому ребру основания пирамиды пристраивается ее основание.

Нанесение линии на развертку производится по точкам. Количество точек зависит от сложности конфигурации линии. Для определения положения любой точки поверхности на развертке, например, точки N, вначале находят положения проекций k₁ и k₂, прямой k, проходящей через вершину S и данную точку. Затем прямую k наносят на развертку при условии, что [А₀1₀]=[А₁1₁]. Далее, используя теорему Фалеса, определяется истинное положение точки N₀ на развертке.

Рис. 18

Развертка призмы. Развертка призмы может осуществляется несколькими способами, одними из которых являются способ раскатки и способ нормального сечения.

Способ раскатки. В общем случае каждая грань призмы (рис. 19) имеет форму параллелограмма. В данном примере натуральные величины ребер определяется на плоскости π₂, а оснований – на плоскости π₁.

Если в исходных данных призма занимает общее положение, то необходимо способами преобразования эпюра преобразовать его проекции так, чтобы грани призмы были либо фронталями, либо горизонталями, а плоскости оснований – плоскостями уровней.

Развертка боковой поверхности осуществляется совмещением граней призмы с плоскостью проекций. Для этого все точки вращают в плоскостях, перпендикулярных проекциям ребер, а расстояния между ребрами берутся равными соответственно величинам сторон основания.

Рассмотрим на примере (рис. 19). За начало развертки принимается одна из фронтальных проекций ребра (на примере - С₀Е₀=С₂Е₂). Из проекции вершины F₂ проводится перпендикуляр к фронтольной проекции ребра B₂F₂. Принимая вершину Е₀ за центр окружности делается засечка на перпендикуляре радиусом равным E₁F₁. Полученная засечка является вершиной параллелограмма F₀. Используя вершину F₀, ребро С₀Е₀ и принцип параллельности достраивается параллелограмм E₀C₀B₀F₀. Далее аналогично строится грани A₀B₀F₀D₀ и A₀D₀E₀C₀.

Рис. 19

После построения развертки боковой поверхности к ней пристраиваются основания.

Нанесение линии на развертку производится точкам. Для определения положения любой точки поверхности на развертке, например, точки N, вначале находят положения проекций k₁ и k₂ прямой k, которая параллельна боковым ребрам призмы и которой принадлежит эта точка. Затем прямую k наносят на развертку при условии, что [A₀K₀]=[A₁K₁]. Далее, используя [K₂N₂]=[K₀N₀], определяют истинное положение точки N₀.

Способ нормального сечения. Сущность данного способа построения развертки призмы заключается в следующем.

Заданную призму (рис. 20) пересекается плоскостью, перпендикулярной боковым рёбрам, и строится проекция и натуральная величина сечения призмы этой плоскостью (нормальное сечение). Также определяются натуральные величины отрезков боковых рёбер призмы, лежащих выше и ниже нормального сечения.

На рис. 20 показано:

Рис. 20

- натуральная величина нормального сечения (∆1₄2₄3₄) призмы АВСDEF, полученное сечением ее фронтально-проецирующей плоскостью α с использованием способа замены плоскостей проекций;

- натуральные величины ребер и их деления секущей плоскостью определяется на плоскости π₂;

- натуральные величины оснований определяются на плоскости π₁.

Для построения развертки (рис. 21) на свободном поле эпюра проводится горизонтальная линия и на ней от произвольной точки откладываются друг за другом стороны нормального сечения призмы: [1-2]→[2-3]→[3-1].

Через полученные точки 1, 2, и 3 проводятся вертикальные прямые линии, на которых вниз откладываются натуральные величины отрезков боковых рёбер призмы, лежащих ниже нормального сечения, а вверх – натуральные величины отрезков боковых рёбер призмы, лежащих выше нормального сечения. Соединяя построенные точки между собой отрезками прямых, получается развертка боковой поверхности призмы. Достроив к ней натуральные величины верхнего и нижнего оснований, получается полная развертка поверхности призмы.

Рис. 21

Нанесение линии на развертку производится точкам. Для определения положения любой точки поверхности на развертке, например, точки N, вначале находят положения проекций k₁ и k₂ прямой k, которая параллельна боковым ребрам призмы и которой принадлежит эта точка. Эта прямая пересекает нормальное сечение в точке 4. Используя проекцию 4₄ на натуральной величине нормального сечения, а также натуральную величину отрезка 4N определяется положение точки N на развертке.

Развертка конической поверхности общего вида. Для получения развертки боковой поверхности наклонного конуса в него вписывают многогранную пирамиду. Следует отметить, что чем больше граней у вспомогательной пирамиды, тем точнее развертка.

Развертывание конической поверхности общего вида производится по схеме развертывания боковой поверхности наклонной пирамиды. На рис. 22 в конус вписывается шестигранная пирамида с правильным шестиугольником в основании. Определение натуральных величин боковых ребер S2 и S3 осуществляется способом вращения вокруг оси i перпендикулярной плоскости π₁. Боковые ребра S1 и S4 на π₂ проецируются без искажения так как они являются фронталями, а основание на π₁ так как оно является горизонтальной плоскостью уровня.

Отличительной особенностью при построении развертки (рис. 23) является то, что полученные точки боковой поверхности, описывающие окружность основания конуса, соединяются не прямыми, а кривой с помощью лекало.

Основание конуса на развертке изображается кругом (в натуральную величину), касающимся в любой точке кривой боковой поверхности, описывающей основание.

Рис. 22

Нанесение линии на развертку производится по точкам. Количество точек зависит от сложности конфигурации линии. Для определения положения любой точки поверхности на развертке, например, точки N, вначале находят положения проекций k₁ и k₂, образующей k, проходящей через вершину S и данную точку. Затем прямую k наносят на развертку при условии, что [1 7]=[1₁7₁]. Далее, через точку N проводится вторая прямая m, параллельная плоскости π₁. Эта прямая пересекает ребра S1 и S2 соответственно в точках 9 и 8. Точка 9 на развертке определяется используя отрезок, а точка 8 - используя отрезок [2₀8₀]=[1 8]. Положение точки 8₀ на ребре S₀2₀ находится с использованием теоремы Фалеса. Точка N на развертке определяется пересечением прямых k и m.

Развертка наклонного цилиндра. Чтобы построить развертку цилиндра, необходимо вписать в него призму с достаточно большим числом граней и развернуть ее. Чем больше граней у вспомогательной призмы, тем точнее развертка.

Развертывание цилиндрической поверхности общего вида производится по схеме развертывания боковой поверхности наклонной призмы. Отличительной особенностью является то, что полученные точки боковой поверхности, описывающие окружности оснований цилиндра, соединяются не прямыми, а кривыми линиями с помощью лекал.

Рис. 23

Основания цилиндра на развертке изображаются окружностями (в натуральную величину каждое), которые касаются в любой точке кривой боковой поверхности, описывающей это основание.

Методика построения линии пересечения поверхностей на развертке наклонного цилиндра аналогична методике, используемой при развертке призмы.

Частные случаи разверток. К частным случаям разверток относятся развертки прямого кругового конуса и прямого кругового цилиндра.

Развертка прямого кругового конуса. Развертка прямого кругового конуса (рис. 24) представляет собой сектор круга, радиус которого равен длине образующей конуса b, а центральный угол а

α=360⁰b/R

где R – радиус основания конуса.

Нанесение линии на развертку производится по точкам с использованием лекал. Для определения положения любой точки поверхности на развертке, например, точки N, вначале находят положения проекций k₁ и k₂ образующей k, которой принадлежит эта точка. Затем прямую k наносят на развертку при условии, что длина дуги A₀K₀ равна длине дуги A₁K₁. Далее, используя теорему Фалеса, определяют истинное положение точки N₀: ([K₀N₀] =m).

Рис. 24

Развертка прямого цилиндра. Развертка боковой поверхности прямого цилиндра представляет собой прямоугольник (рис. 25), одна сторона которого равна образующей l, а другая – длине окружности основания n:

n=2πR,

где R – радиус основания окружности.

Каждое основание цилиндра наносят в виде круга с радиусом R, касающегося в любой точке стороны п прямоугольника, описывающего его.

Нанесение линии пересечения поверхностей на развертку производится по точкам с использованием лекал. Положение любой точки поверхности на развертке, например, N, определяется следующим образом. Вначале находят проекции k₁ и k₂ образующей k, которой принадлежит точка N. Затем определяют положение этой образующей на развертке по условию, что отрезок [B₀K₀] равен длине дуги B₁K₁. Так как k₂=k, то положение точки N₀ на развертке определяется как [N₀K₂]= [N₂K₂]

Рис. 25

Развертка сферы. Сферическая поверхность является не развертываемой. Здесь можно говорить только об условном развертывании. На рис. 26 показан один из приемов построения. Поверхность «разрезают» несколькими плоскостями, проходящими через ось сферы, перпендикулярную π₁. Точность развертки зависит от числа плоскостей – чем больше плоскостей, тем точнее развертка. На рис. 26 число таких плоскостей 12 (фронтальные проекции линий пересечения не показаны).

Дуги окружностей на плоскости π₁ в лепестках развертки заменяют прямыми, касательными к этим дугам, например, прямая А₁В₁ заменяет дугу ав.

На плоскости π₂ дугу 1₂7₂ делят на равные части: 1₂2₂=2₂3₂=...=6₂7₂ (чем больше частей – тем точнее развертка). Принимая точки 1₂ 2₂, 3₂,... за фронтальные проекции отрезков АВ, CD, EF, образующих лепестки развертки, строят их горизонтальные проекции A₁B₁,C₁D₁, E₁F₁,...

На прямой l откладывают отрезок A₀B₀= A₁B₁ и через его середину (точка 1₀) проводят перпендикуляр k. На этом перпендикуляре откладывают отрезки [1₀2₀]= 1₂2₂, [2₀3₀]= 2₂3₂, [3₀4₀]= 3₂4₂, [4₀5₀]= 4₂5₂, [5₂6₂]= 5₂6₂ и [6₂7₂]= 6₂7₂ и через полученные точки 2₀, 3₀, 4₀, 5₀, и 6₀ проводят отрезки [C₀D₀]=[C₁D₁]_, [E₀F₀]=[E₁F₁] и т.д., параллельные прямой A₀B₀, при этом точки 2₁≡2₀, 3₁≡3₀ и т.д.

По лекало через полученные точки А₀, D₀, F₀, ...,7₀ и В₀ С₀, E₀…, 7₀ проводят кривые. В результате получается приближенная развертка половины лепестка сферической поверхности. Далее, используя эту часть лепестка, строят недостающую часть развертки.

Рис. 26

Построение линии пересечения поверхностей на развертке произво­дится по ее точкам с использованием лекал.

Для нахождения положения точки на развертке, например, S, опреде­ляют ее положение относительно экватора ( 1₂S*₂) и центральной линии сегмента [S₁N₁], в котором она находится. Далее полученные значения этих величин наносят на развертку, т.е. [1N]- 1₂S₂* и [SN]=[S₁N₁].

Примечание. При развертки тел вращения рекомендуется окружности делить на 12 равных частей при R>25 мм и на 8 – при R<25 мм (R – радиус окружности).

Особенности оформления РГР-3. Графическую информацию на поле чертежа рекомендуется располагать следующим образом: слева – построение линии пересечения, а справа – развертка (прил. 14,15). Если графическая информация не помещается как рекомендуется выше, то в этом случае допускается ее обрезать и располагать на поле чертежа так чтобы информация о ходе и результате решения сохранялась (прил. 15).

После размещения информации на чертеже производят ее обводка. Требования к обводке чертежа приведены в табл. 3.

Пример выполнения РГР-3.

Состав задания. Корпус редуктора представляет собой пересечение четверти сферы (поверхность λ) и трехгранной прямой призмы (поверхность μ). Взаимное положение тел и их геометрические параметры заданы схемой рис. 27.

Определить линию пересечения тел и построить развертку одного из тел с учетом линии пересечения.

Таблица 3