2.3. Следы прямой линии

Прямая общего положения пересекает все плоскости проекций. Точки пересечения прямой линии с плоскостями проекций называют следами прямой (рис 23). Точка М – горизонтальный след прямой, точка N – фронтальный. Горизонтальная проекция М₁ горизонтального следа прямой совпадает с самим следом – точкой М, а фронтальная проекция этого следа М₂ лежит на оси ОХ (рис. 24). Фронтальная проекция N₂ фронтального следа прямой совпадает с точкой N, а горизонтальная проекция N₁ лежит на оси ОХ.

Рис. 23 Рис. 24

Для построения горизонтального следа М прямой (рис. 24) необходимо продолжить фронтальную проекцию прямой до пересечения с осью ОХ и по принадлежности точки прямой определяем недостающею проекцию горизонтального следа.

Для построения фронтального следа N прямой продолжаем горизонтальную проекцию прямой до пересечения с осью ОХ и по принадлежности точки прямой определяем недостающею проекцию фронтального следа.

2.4. Взаимное расположение прямых

Прямые в пространстве относительно друг друга могут располагаться тремя способами (рис. 25): быть взаимно параллельными (l∥k); пересекаться (m∩n=A); скрещиваться (v∸d).

Если прямые общего положения взаимно параллельны, то на основании инварианта параллельности прямых следует признак параллельности прямых по эпюру (рис. 25а): одноимённые проекции прямых на всех плоскостях проекций будут взаимно параллельны.

Если прямые пересекаются, то на основании инварианта точки пересечения двух линий следует признак по эпюру (рис. 25б): точки пересечения одноимённых проекций прямых лежат на общих линиях связи.

Если прямые скрещиваются, то на эпюре (рис. 25в): точке пересечения одноимённых проекций прямых на одной плоскости проекций соответствуют проекции двух разных точек на другой плоскости проекций. Например, общей точке M₁≡N₁ пересечения горизонтальных проекций прямых соответствуют разные точки M₂v₂ и N₂d₂ на фронтальной плоскости проекций.

а) б) в)

Рис. 25

2.5. Теорема о прямом угле

Прямой угол проецируется на плоскость без искажения, если одна из его сторон параллельна этой плоскости (рис. 26).

На основании этой теоремы две взаимно перпендикулярные прямые (пересекающиеся или скрещивающиеся) проецируются на π₁ в виде взаимно перпендикулярных прямых (рис. 26а), если одна из них горизонталь, на π₂– если одна из них фронталь (рис. 26б).

а) б) в)

Рис. 26

Условие перпендикулярности также относится и к скрещивающихся прямых (рис. 26в) если одна из них параллельна плоскости проекций.

2.6. Задачи – «Прямая на эпюре Монжа»

Варианты исходных данных для задач по теме «Прямая на эпюре Монжа» приведены в табл. 3.

2.6.1. Построить прямую l, проходящею через точки А и В. На прямой l определить положение точки D если известно, что она удалена от плоскости проекций π₁ или π₂ на расстояние k.

Пример (рис. 27). Построить прямую l проходящею через точки А(20; 10;50) и В(60;70;20). На прямой l определить положение точки D если известно, что она удалена от плоскости проекций π₁ на расстояние 35 мм.

Рис. 27 Рис. 28

2.6.2. Через точку А провести фронталь f под углом 45⁰ к плоскости π₁. На фронтале найти одно из двух возможных положение точки Е если известно, что отрезок[AE]=30 мм.

На рис. 28 показан пример решения задачи для точки А(20; 10;50).

2.6.3. Через точку В провести горизонталь h под углом 60⁰ к плоскости π₂. На горизонтали найти одно из двух возможных положение точки F если известно, что отрезок[BF]=35 мм.

На рис. 29 показан пример решения задачи для точки В(60;70;20).

2.6.4. Через точку С провести профильную прямую p под углом 30⁰ к плоскости π₂. На профильной прямой найти одно из двух возможных положение точки К если известно, что отрезок[СК]=30 мм.

На рис. 30 показан пример решения задачи для точки С(40;25;35).

2.6.5. Через точки А, В, и С провести соответственно горизонтально-проецирующею (n), фронтально-проецирующею (m) и профильно-проецирующею (l) прямые.

На рис. 30 показан пример решения задачи для точек А(20; 10;50), В(60;70;20) и С(40;25;35).

Рис. 29

Рис. 30

Рис. 31

2.6.6. Определить следы (N=k∩π₁; М=k∩π₂) прямой k, проходящей через точки T и L.

На рис. 31 показан пример решения задачи для точек T(10;50;50) и L(50;5;20).

Рис. 31

2.6.7. На отрезке [LT] определить положение точки G, если известно, что [LG]:[GT]=1:3.

На рис. 32 показан пример решения задачи для точек T(10;50;50) и L(50;5;20).

Рис. 32

2.6.8. Задана прямая общего положения k(L;T), проходящей через точки L и T. Известно, что эта прямая скрещивается под прямым углом с прямой u частного положения (горизонталь или фронталь согласно задания), проходящей через точку С. Построить прямую частного положения u.

На рис. 33 показан пример решения задачи для точек T(10;50;50), L(50;5;20), С(40;25;35) и скрещивающихся прямых k(L;T) и фронтали u(C).

Рис. 33

Таблица 3

Исходные данные по теме «Прямая на эпюре Монжа»

Вариант	Удаление точки D		Численные значения координат точек															Прямая u параллельна плоскости проекций
			А			В			С			T			L
	от	v	x	y	z	x	y	z	x	y	z	x	y	z	x	y	z
1	π1	30	5	40	5	55	5	50	25	30	25	5	50	40	40	20	5	π1
2	π2	20	15	55	15	65	10	40	50	30	60	40	20	5	10	50	40	π2
3	π1	35	25	40	20	75	10	50	45	25	35	10	40	50	45	5	20	π1
4	π2	40	10	45	5	60	15	50	20	60	30	45	5	20	15	40	50	π2
5	π1	30	20	50	10	70	15	45	55	35	65	15	45	45	50	10	5	π1
6	π2	30	5	45	15	55	5	60	30	30	40	50	10	5	20	45	45	π2
7	π1	20	15	50	10	65	20	55	25	65	35	20	15	50	55	35	10	π1
8	π2	30	25	40	5	75	10	45	60	40	10	55	35	10	25	15	50	π2
9	π1	20	10	55	20	60	5	40	35	35	45	25	5	40	60	35	5	π1
10	π2	20	20	35	10	70	10	50	30	10	40	60	35	5	5	5	40	π2
11	π1	20	55	10	35	5	45	5	65	45	15	5	55	0	40	10	50	π1
12	π2	40	65	15	55	15	60	10	40	40	10	40	10	50	10	0	40	π2
13	π1	30	75	10	40	25	50	10	35	15	45	10	10	5	45	45	45	π1
14	π2	30	60	15	50	10	45	5	10	10	20	45	15	50	15	35	10	π2

Продолжение табл. 3

Вариант	Удаление точки D		Численные значения координат точек															Прямая u параллельна плоскости проекций
			А			В			С			T			L
	от	v	x	y	z	x	y	z	x	y	z	x	y	z	x	y	z
15	π1	30	70	5	45	20	50	15	45	45	15	15	35	10	50	15	50	π1
16	π2	25	55	10	45	5	55	5	40	20	50	50	5	40	25	35	5	π2
17	π1	35	65	20	50	15	60	10	15	35	25	25	35	5	60	5	40	π1
18	π2	40	75	10	40	25	55	10	10	50	20	60	55	0	5	10	50	π2
19	π1	30	60	15	55	10	65	25	45	25	55	5	50	50	40	25	5	π1
20	π2	30	70	10	40	20	50	5	20	20	30	40	20	5	5	50	40	π2
21	π1	40	10	45	5	60	15	50	20	60	30	45	5	20	15	40	50	π1
22	π2	25	20	50	10	70	15	45	55	35	65	15	45	45	50	10	5	π2
23	π1	45	5	45	15	55	5	60	30	30	40	50	10	5	20	45	45	π1
24	π2	35	15	50	10	65	20	55	25	65	35	20	15	50	55	35	10	π2
25	π1	30	25	40	5	75	10	45	60	40	10	55	35	10	25	15	50	π1
26	π2	30	10	55	20	60	5	40	35	35	45	25	5	40	60	35	5	π2
27	π1	40	20	35	10	70	10	50	30	10	40	60	35	5	5	5	40	π1
28	π2	25	55	10	35	5	45	5	65	45	15	5	55	0	40	10	50	π2
29	π1	35	65	15	55	15	60	10	40	40	10	40	10	50	10	0	40	π1
30	π2	30	75	10	40	25	50	10	35	15	45	10	10	5	45	45	45	π2