6.2. Пересечение прямой с поверхностью
Задача. Определить точки встречи M и N прямой l(L,T) с телом и показать видимость этой прямой l относительно тела.
Варианты заданий приведены табл. 12 и табл. 15.
Алгоритм определения точек пересечения прямой с поверхностью является общим для всех видов поверхностей:
1) заданную прямую заключают во вспомогательную (как правило проецирующею) плоскость;
2) строится линия пересечения поверхности со вспомогательной плоскостью;
3) определяются точки встречи, заданной прямой с поверхностью как точки пересечения заданной прямой с построенной линией пересечения.
Геометрическая интерпретация этого алгоритма показана на примере определения точек пересечения прямой l с конусом – рис. 77.
Рис. 77
На рис. 77 прямая l заключается во вспомогательную плоскость δ. Точки пересечения М и N прямой с линией сечения плоскости и поверхности являются точками встречи, заданной прямой с поверхностью.
Рассмотрим пример определения точек встречи на эпюре прямой l с конусом (рис. 78).
Исходные данные. Тело – прямой круговой конус. Основание конуса круг диаметром 55 мм, лежащее в полкости проекций π1. Центр О(50; 45; 0). Вершина конуса S(50; 45; 77). Прямая l проходит через точки L(17; 12; 0) и T(70; 67; 50).
1. Прямая l заключается во фронтально-проецирующею плоскость δ. Вырожденная проекция этой плоскости δ2 совпадет с фронтальными проекциями прямой l2 и фронтальной проекцией сечения конуса плоскостью δ.
2. Строится горизонтальная проекция линии пересечения вспомогательной плоскости с конусом. На рис. 78 для построения этой линии использованы опорные точки 1, 2, 3, 4 и промежуточные 5, 6.
Рис. 78
3. Точки пересечения М1 и N1 проекции прямой l1 с горизонтальной проекцией линией пересечения являются горизонтальными проекциями точек встречи прямой с конусом.
4. Недостающие фронтальные проекции М2 и N2 определяются по принадлежности точек М и N прямой l.
5. Для определения видимости проекций прямой относительно конуса используется положение этих точек, относительно очерковых образующих конуса.
Таблица 15
Исходные данные по теме «Пересечение прямой с поверхностью»
Вариант 1 |
||||||
№ тела |
1 |
3 |
5 |
9 |
14 |
15 |
Координаты точек прямой |
L(110; 35; 15) T(20; 35; 5) |
L(110; 40; 10) T(5; 15; 50) |
L(100; 20; 25 T(5; 50; 5) |
L(105; 65; 10) T(10; 15; 65) |
L(140; 10; 60) T(10; 70; 10) |
L(105; 80; 70) T(5; 30; 60) |
Вариант 2 |
||||||
№ тела |
2 |
4 |
6 |
10 |
13 |
15 |
Координаты точек прямой |
L(110; 20; 35) T(5; 40; 15) |
L(120; 25; 10) T(5; 15; 60) |
L(120; 20; 45) T(10; 45; 10) |
L(120; 80; 20) T(20; 60; 70) |
L(125; 65; 25) T(15; 15; 10) |
L(105; 20; 15) T(5; 30; 60) |
Вариант 3 |
||||||
№ тела |
1 |
7 |
11 |
12 |
14 |
15 |
Координаты точек прямой |
L(110; 35; 15) T(20; 45; 5) |
L(80; 45; 10) T(10; 35; 50) |
L(110; 45; 15) T(10; 70; 10) |
L(115; 25; 10) T(25; 80; 80) |
L(140; 20; 60) T(10; 70; 10) |
L(105; 25; 20) T(5; 40; 40) |
Вариант 4 |
||||||
№ тела |
2 |
3 |
8 |
9 |
13 |
15 |
Координаты точек прямой |
L(110; 35; 35) T(5; 40; 15) |
L(110; 40; 10) T(5; 25; 50) |
L(80: 25; 10) T(10; 55; 45) |
L(105; 45; 10) T(10; 15; 65) |
L(125; 75; 25) T(15; 25; 10) |
L(105; 20; 15) T(5; 20; 45) |
Вариант 5 |
||||||
№ тела |
1 |
4 |
5 |
10 |
14 |
15 |
Координаты точек прямой |
L(100; 40; 30) T(15; 25; 10) |
L(120; 25; 10) T(5; 25; 60) |
L(100; 20; 25 T(5; 70; 5) |
L(120; 80; 20) T(20; 50; 70) |
L(140; 30; 60) T(10; 70; 10) |
L(105; 20; 15) T(5; 35; 45) |
Вариант 6 |
||||||
№ тела |
2 |
6 |
11 |
12 |
13 |
15 |
Координаты точек прямой |
L(110; 50; 35) T(5; 40; 15) |
L(120; 30; 45) T(10; 45; 10) |
L(110; 45; 25) T(10; 70; 10) |
L(115; 25; 10) T(25; 35; 80) |
L(125; 85; 25) T(15; 35; 10) |
L(105; 20; 15) T(5; 650; 45) |
Продолжение табл. 15
Вариант 7 |
||||||
№ тела |
1 |
3 |
7 |
9 |
14 |
15 |
Координаты точек прямой |
L(100; 40; 30) T(15; 35; 10) |
L(110; 40; 10) T(5; 35; 50) |
L(80; 45; 10) T(10; 35; 35) |
L(105; 15; 10) T(10; 45; 65) |
L(140; 10; 50) T(10; 75; 20) |
L(105; 80; 70) T(5; 45; 60) |
Вариант 8 |
||||||
№ тела |
2 |
4 |
8 |
10 |
13 |
15 |
Координаты точек прямой |
L(110; 20; 10) T(5; 40; 50) |
L(120; 25; 10) T(5; 30; 60) |
L(80: 35; 10) T(10; 55; 45) |
L(120; 40; 20) T(20; 60; 70) |
L(125; 85; 25) T(15; 15; 10) |
L(105; 20; 15) T(5; 30; 50) |
Вариант 9 |
||||||
№ тела |
1 |
5 |
11 |
12 |
14 |
15 |
Координаты точек прямой |
L(100; 40; 30) T(15; 45; 10) |
L(100; 30; 15 T(5; 50; 45) |
L(110; 45; 35) T(10; 70; 10) |
L(115; 25; 10) T(25; 35; 80) |
L(140; 20; 50) T(10; 75; 20) |
L(105; 50; 15) T(5; 60; 30) |
Вариант 10 |
||||||
№ тела |
2 |
3 |
6 |
9 |
13 |
15 |
Координаты точек прямой |
L(110; 20; 10) T(5; 25; 50) |
L(110; 40; 10) T(5; 50; 50) |
L(120; 40; 45) T(10; 45; 10) |
L(105; 15; 10) T(10; 80; 65) |
L(125; 65; 25) T(15; 35; 10) |
L(105; 10; 50) T(5; 20; 40) |
Вариант 11 |
||||||
№ тела |
1 |
4 |
7 |
10 |
14 |
15 |
Координаты точек прямой |
L(100; 10;15) T(10; 50; 35) |
L(120; 25; 10) T(5; 45; 60) |
L(80; 45; 10) T(10; 35; 20) |
L(120; 15; 40) T(20; 80; 50) |
L(140; 30; 50) T(10; 75; 20) |
L(105; 40; 15) T(5; 10; 40) |
Вариант 12 |
||||||
№ тела |
2 |
8 |
11 |
12 |
13 |
15 |
Координаты точек прямой |
L(110; 20; 10) T(5; 5; 50) |
L(80: 45; 10) T(10; 55; 45) |
L(110; 45; 45) T(10; 70; 10) |
L(115; 55; 10) T(25; 65; 80) |
L(125; 65; 40) T(15; 15; 10) |
L(105; 25; 70) T(5; 20; 40) |
Продолжение табл. 15
Вариант 13 |
||||||
№ тела |
1 |
3 |
5 |
9 |
14 |
15 |
Координаты точек прямой |
L(100; 40; 15) T(10; 50; 35) |
L(110; 40; 10) T(5; 60; 50) |
L(100; 30; 15 T(5; 70; 45) |
L(105; 45; 10) T(10; 40; 65) |
L(140; 90; 50) T(10; 10; 20) |
L(105; 50; 20) T(5; 40; 40) |
Вариант 14 |
||||||
№ тела |
2 |
4 |
6 |
10 |
13 |
15 |
Координаты точек прямой |
L(110; 35; 10) T(5; 25; 50) |
L(120; 25; 10) T(5; 55; 60) |
L(120; 55; 45) T(10; 25; 10) |
L(120; 10; 40) T(20; 80; 50) |
L(125; 75; 40) T(15; 15; 10) |
L(105; 80; 70) T(5; 55; 60) |
Вариант 15 |
||||||
№ тела |
1 |
7 |
11 |
12 |
14 |
|
Координаты точек прямой |
L(110; 30; 45) T(5; 15; 15) |
L(80; 25; 20) T(10; 65; 10) |
L(110; 45; 40) T(10; 70; 10) |
L(115; 55; 80) T(25; 65; 10) |
L(140; 80; 50) T(10; 10; 20) |
L(105; 50; 25) T(5; 60; 30) |
Вариант 16 |
||||||
№ тела |
2 |
3 |
8 |
9 |
13 |
15 |
Координаты точек прямой |
L(110; 35; 10) T(5; 50; 50) |
L(110; 60; 55) T(5; 15; 20) |
L(80: 35; 10) T(10; 25; 45) |
L(105; 45; 10) T(10; 30; 65) |
L(125; 85; 40) T(15; 15; 10) |
L(105; 40; 15) T(5; 20; 40) |
Вариант 17 |
||||||
№ тела |
1 |
4 |
5 |
10 |
14 |
15 |
Координаты точек прямой |
L(110; 30; 45) T(5; 35; 15) |
L(120; 45; 55) T(5; 15; 15) |
L(100; 65; 15 T(5; 10; 45) |
L(120; 80; 20) T(20; 35; 70) |
L(140; 85; 50) T(10; 10; 20) |
L(105; 50; 70) T(5; 40; 40) |
Вариант 18 |
||||||
№ тела |
2 |
6 |
11 |
12 |
13 |
15 |
Координаты точек прямой |
L(110; 10; 10) T(5; 50; 50) |
L(120; 25; 10) T(10; 45; 35) |
L(110; 45; 30) T(10; 70; 10) |
L(115; 30; 80) T(25; 80; 10) |
L(125; 65; 20) T(15; 15; 40) |
L(105; 40; 15) T(5; 30; 40) |