5. Метрически задачи
5.1. Способ замены плоскостей проекций
Общие сведения о способе замены плоскостей проекций. Способ замены плоскостей проекций относится к способам преобразования эпюра, когда объект в пространстве не меняет своего положения, а изменяется положение проецирующего аппарата.
Рассмотрим аппарат проецирования (рис. 62) при использовании этого способа. В аппарате проецирования обозначим:
- π2 – заменяемая (старая) плоскость проекций;
- π1 – не заменяемая плоскость проекций;
- π4 – новая (вновь вводимая) плоскость проекций;
- Х1,2 =π1 ∩ π2 – заменяемая (старая) ось проекций;
- Х1,4 =π1 ∩ π4 – новая ось проекций;
- А – объект проецирования;
- А1 – не заменяемая проекция объекта;
- А2 – заменяемая (старая) проекция объекта;
- А4 – новая проекция объекта;
- π1 /π2 – старая система плоскостей проецирования (старый аппарата проецирования);
- π1 /π4 – новая система плоскостей проецирования (новый аппарата проецирования.
Рис. 62 Рис. 63
Способ замены плоскостей проекций состоит в том, что одна из основных плоскостей проекций π1 или π2 (на рис. 66 это π2) заменяется новой плоскостью проекций π4, расположенной нужным образом по отношению к объекту, но перпендикулярно незаменяемой плоскости проекций (на рис. 62 π4 ⊥π1). В результате замены старой плоскости проекций π2 на новую π4 получаем вместо старой системы плоскостей проекций π1 /π2 новую систему π1 /π4. Следовательно при проецировании в новой системе π1 /π4 получаем новый эпюр точки А (рис. 63).
В общем случае методика применения способа замены плоскостей для точки выглядит следующим образом.
1. На эпюре наносится новая ось проекций: Х1,4.
2. Из незаменяемой проекции точки А1 перпендикулярно новой оси проводится новая линия связи.
3. На проекции заменяемой плоскости замеряется удаление заменяемой проекции точки А2 от старой оси Х1,2: zА=Ах1,2А2.
4. На новой линии связи от новой оси Х1,4 откладывается замеренное удаление заменяемой проекции от заменяемой оси zА=Ах1,2А2=Ах1,4А2 и получается положение новой проекции точки А4.
Задача 1. Определить натуральную величину длины отрезка и угол его наклона к плоскости проекций.
Решение задачи сводится к преобразованию отрезка общего положения в отрезок уровня. И используя свойства прямой уровня определяются натуральные величина отрезка и угла его наклона к плоскости проекций и его натуральная величина.
Пример. Определить натуральную величину отрезка [АВ] и угол его наклона к плоскости проекций. Исходные данные: A(50; 10; 20); B(10; 25; 10); угол наклона отрезка [АВ] к π1.
Решение (рис. 64). Исходя из того, что необходимо определить угол наклона отрезка [АВ] к π1 следует что он должен быть фронталью. Следовательно, необходимо заменить плоскость проекций π2 новой плоскостью проекций π4, параллельной отрезку [АВ] и перпендикулярной к плоскости проекций π1: π4 ⊥π1 ∧ π4∥[АВ].
Рис. 64
Построение. Проводится новая ось проекций Х1,4 параллельно проекции отрезка [А1В1] на произвольном расстоянии от нее. Такое положение оси Х1,4 обусловливается тем, что π4 параллельна [АВ] (характерный признак фронтали).
Относительно новой оси Х1,4 струятся новые проекции точек А4 и В4 на плоскости π4. Таким образом отрезок [АВ] в новой системе плоскостей проекций π1/π4 является фронталью, а, следовательно, отрезок и угол его наклона к плоскости π1 проецируется на плоскость π4 в истинную величину ([А4В4] = [АB]; угол α – угол наклона отрезка [АB] к плоскости π1).
Варианты заданий приведены в табл. 11.
Задача 2. Определить расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.
В общем случае задача решается двумя заменами (рис. 65). При первой замене одна из прямых общего положения переводится в прямую уровня, а при второй замене прямая уровня переводится в проецирующей положение. Таким образом перпендикуляр от вырожденной проекции прямой до проекции другой прямой является искомой величиной.
Рис. 65
Рассмотрим решение задачи на примере скрещивающихся прямых (A,B)∸(C,D). Исходные данные: A(25; 45; 40), B(50; 10; 20), C(40; 40; 25) и D(10; 25; 5).
При первой замене (аналогично примеру в задаче 1) плоскости π2 заменяется на плоскость π4 при этом прямая общего положения переводится в прямую уровня (π1 /π2 → π1 /π4).
При второй замене прямая уровня переводится в проецирующие положение. Для этого плоскость π1 в старой системе π1/π4 заменяется плоскостью π5 новой системы π4/π5 одновременно перпендикулярно прямой (А,В) и плоскости π4: π5⊥(А,В) ∧ π5⊥π4. Таким образом в новой системе прямая (А,В) станет проецирующей относительно плоскости π5.
Построения на эпюре, при второй замене, заключаются в следующем. Новая ось проекций Х4,5 проводится перпендикулярно натуральной величине прямой (А4,В4) на произвольном расстоянии от нее: Х4,5 ⊥(А4,В4). Такое положение оси Х4,5 обусловливается тем, что плоскость π5 перпендикулярна прямой (А,В). Учитывая, что расстояния точек А1 и В1 до оси Х1,4 одинаковы, то проекции их на плоскости π5 совпадут, т. е. прямая станет проецирующей (А5≡В5) в системе π4/π5 .
Теперь проведя перпендикуляр из вырожденной проекции (А5≡В5) к проекции другой прямой (С5,D5) определяется расстояние между скрещивающими прямыми (A,B)∸(C,D).
Варианты заданий приведены в табл. 11.
3адача 3. Определить расстояние от точки до плоскости.
Для решения задачи необходимо заданную плоскость общего положения преобразовать в проецирующею плоскость. Тогда перпендикуляр от проекции точки до вырожденной проекции плоскости будет являться искомой величиной.
Рассмотрим решение задачи на примере (рис. 66) плоскости заданной треугольником ∆АВС и D не лежащей в этой плоскости. Исходные данные: A(25; 45; 40), B(50; 10; 20), C(20; 15; 10) и D(10; 25; 35).
Решение. Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости. Следовательно, если какую-либо прямую, принадлежащую плоскости ∆АВС, преобразовать в проецирующую, то плоскость ∆АВС в новой системе плоскостей проекций станет проецирующей. Проще всего для этой цели воспользоваться прямой уровня.
На эпюре (рис. 66) плоскость ∆АВС преобразована во фронтально-проецирующую путем преобразования горизонтали h(h1, h2), принадлежащей плоскости ∆АВС, во фронтально-проецирующую прямую (см. предыдущую задачу). В новой системе плоскостей проекций π1/π4 плоскость ∆АВС является фронтально-проецирующей, и поэтому ее проекция на π4 вырождается в прямую линию (А4, В4, С4).
Теперь достроив перпендикуляр из проекции точки D4 к вырожденной проекции плоскости получаем искомую величину.
Варианты заданий приведены в табл. 11.
Рис. 66