4.9. Построение линии пересечения плоскостей общего положения
Рассмотрим построение линии пересечения на примере двух плоскостей, заданных треугольниками α(∆АВС) и β(∆DEF). Координаты точек: А(120; 70; 35), В(40; 35; 60), С(85; 15; 5), D(100; 10; 60), E(10; 70; 10) и F(110; 45; 15).
В общем случае линия пересечения плоскостей треугольников (рис. 61) строится по двум точкам M и N, которые определяется как точка пересечения стороны одного треугольника с плоскостью другого. Видимость проекций треугольников относительно друг друга определяется метод конкурирующих точек.
Рис. 61
Последовательность решения.
1. Определение точки М.
Заключаем прямую DE в вспомогательную фронтально проецирующую плоскость γ и строим линию пересечения вспомогательной и заданной плоскостей α следующим образом.
Фронтальная проекция этой линии известна, так как она совпадает с фронтальной проекцией D2E2: γ2≡(12-22)≡D2E2. Тогда горизонтальная проекция линии пересечения (11-21) строится по принадлежности линии (1-2) плоскости α(∆АВС).
Точка пересечения проекции (11-21) с проекцией D1E1 является горизонтальной проекцией точки встречи М1 прямой DE с плоскостью α(∆АВС): (11-21)∩D1E1=М1.
2. Определение точки N.
Заключаем прямую AC в вспомогательную фронтально проецирующую плоскость δ и строим линию пересечения вспомогательной и заданной плоскостей β следующим образом.
Фронтальная проекция этой линии известна, так как она совпадает с фронтальной проекцией A2C2: δ2≡(32-42)≡A2C2. Тогда горизонтальная проекция линии пересечения (31-41) строится по принадлежности линии (3-4) плоскости β(∆DEF).
Точка пересечения проекции (31-41) с проекцией A1C1 является горизонтальной проекцией точки встречи N1 прямой AC с плоскостью β(∆DEF): (31-41)∩A1C1=N1.
3. Устанавливаем видимость плоскостей α и β относительно друг друга ограниченных соответственно треугольниками ∆АВС и ∆DEF.
Для горизонтальной плоскости проекций видимость плоскостей определяется с помощью горизонтально конкурирующих точек 61 и 71 (точка 6 лежит на стороне DE треугольника ∆DEF, а точка 7 – на стороне АВ треугольника ∆АВС). Учитывая, что проекция точки 61 закрыта проекцией точки 71, следовательно, проекция треугольника ∆D1E1F1 закрыта проекцией треугольника ∆А1В1С1 на этом луче проецирования. Далее используя метод обхода проекции треугольников по контуру и учитывая линию пересечения треугольников окончательно определяется видимость горизонтальных проекций плоскостей.
Видимость проекций плоскостей для фронтальной плоскости проекций определяется аналогичным способом. Только здесь для определения видимости проекций используются фронтально конкурирующие точки 12 и 52 (точка 1 лежит на стороне АВ треугольника ∆АВС, а точка 5 – на стороне DE треугольника ∆DEF).
При определении видимости проекций конкурирующих точек направление взглядов на эпюре показано символами (↑) и (↓).
Варианты заданий приведены в табл. 10.
Таблица 10
Исходные данные по темам «Построение линии пересечения плоскостей общего положения»
Вариант |
Численные значения координат точек |
|||||||||||||||||
А |
В |
С |
D |
E |
F |
|||||||||||||
x |
y |
z |
x |
y |
z |
x |
y |
z |
x |
y |
z |
x |
y |
z |
x |
y |
z |
|
1 |
85 |
25 |
40 |
60 |
60 |
60 |
15 |
20 |
15 |
45 |
15 |
65 |
0 |
65 |
40 |
90 |
40 |
15 |
2 |
80 |
60 |
5 |
0 |
55 |
30 |
35 |
15 |
50 |
80 |
40 |
30 |
15 |
55 |
15 |
15 |
30 |
55 |
3 |
90 |
30 |
35 |
50 |
50 |
75 |
15 |
5 |
25 |
80 |
0 |
60 |
40 |
55 |
15 |
70 |
50 |
5 |
4 |
0 |
35 |
25 |
30 |
70 |
0 |
80 |
25 |
50 |
5 |
50 |
40 |
50 |
15 |
60 |
70 |
50 |
0 |
5 |
15 |
5 |
60 |
55 |
50 |
15 |
90 |
30 |
55 |
45 |
55 |
70 |
0 |
20 |
15 |
80 |
0 |
35 |
6 |
0 |
30 |
55 |
30 |
70 |
15 |
75 |
5 |
50 |
70 |
40 |
35 |
35 |
0 |
75 |
10 |
45 |
25 |
7 |
75 |
60 |
5 |
35 |
15 |
50 |
0 |
50 |
30 |
40 |
70 |
50 |
85 |
15 |
20 |
5 |
30 |
0 |
8 |
80 |
55 |
15 |
55 |
0 |
70 |
0 |
35 |
25 |
80 |
15 |
35 |
20 |
15 |
15 |
35 |
70 |
70 |
9 |
10 |
5 |
60 |
55 |
50 |
15 |
85 |
30 |
50 |
50 |
55 |
70 |
0 |
20 |
10 |
80 |
0 |
30 |
10 |
80 |
5 |
55 |
30 |
50 |
15 |
0 |
30 |
55 |
45 |
55 |
70 |
90 |
20 |
15 |
10 |
0 |
35 |
11 |
15 |
30 |
5 |
55 |
80 |
50 |
90 |
40 |
30 |
45 |
20 |
55 |
0 |
80 |
20 |
80 |
60 |
20 |
12 |
80 |
50 |
5 |
30 |
15 |
50 |
0 |
55 |
30 |
45 |
70 |
55 |
90 |
15 |
20 |
10 |
30 |
0 |
13 |
45 |
60 |
5 |
70 |
15 |
50 |
5 |
20 |
45 |
55 |
70 |
60 |
65 |
0 |
5 |
0 |
30 |
15 |
14 |
70 |
20 |
55 |
40 |
65 |
5 |
0 |
5 |
25 |
40 |
50 |
60 |
70 |
0 |
0 |
5 |
20 |
15 |
15 |
80 |
40 |
30 |
20 |
70 |
50 |
25 |
15 |
0 |
50 |
65 |
60 |
5 |
25 |
25 |
70 |
25 |
0 |
продолжение табл. 10
Вариант |
Численные значения координат точек |
|||||||||||||||||
А |
В |
С |
D |
E |
F |
|||||||||||||
x |
y |
z |
x |
y |
z |
x |
y |
z |
x |
y |
z |
x |
y |
z |
x |
y |
z |
|
16 |
80 |
60 |
5 |
30 |
15 |
50 |
0 |
50 |
30 |
45 |
70 |
55 |
90 |
15 |
20 |
10 |
30 |
0 |
17 |
75 |
60 |
5 |
30 |
15 |
50 |
0 |
50 |
30 |
40 |
70 |
50 |
85 |
10 |
20 |
10 |
30 |
0 |
18 |
80 |
5 |
60 |
30 |
50 |
15 |
0 |
30 |
55 |
45 |
55 |
70 |
90 |
20 |
15 |
10 |
0 |
30 |
19 |
85 |
60 |
25 |
40 |
0 |
0 |
0 |
30 |
40 |
35 |
60 |
15 |
85 |
20 |
45 |
15 |
5 |
55 |
20 |
80 |
5 |
60 |
30 |
50 |
15 |
0 |
30 |
50 |
40 |
50 |
70 |
85 |
25 |
15 |
5 |
0 |
30 |
21 |
80 |
40 |
30 |
15 |
55 |
15 |
15 |
30 |
55 |
80 |
60 |
5 |
0 |
55 |
30 |
35 |
15 |
50 |
22 |
80 |
0 |
60 |
40 |
55 |
15 |
70 |
50 |
5 |
90 |
30 |
35 |
50 |
50 |
75 |
15 |
5 |
25 |
23 |
5 |
50 |
40 |
50 |
15 |
60 |
70 |
50 |
0 |
0 |
35 |
25 |
30 |
70 |
0 |
80 |
25 |
50 |
24 |
45 |
55 |
70 |
0 |
20 |
15 |
80 |
0 |
35 |
15 |
5 |
60 |
55 |
50 |
15 |
90 |
30 |
55 |
25 |
70 |
40 |
35 |
35 |
0 |
75 |
10 |
45 |
25 |
0 |
30 |
55 |
30 |
70 |
15 |
75 |
5 |
50 |
26 |
40 |
70 |
50 |
85 |
15 |
20 |
5 |
30 |
0 |
75 |
60 |
5 |
35 |
15 |
50 |
0 |
50 |
30 |
27 |
80 |
15 |
35 |
20 |
15 |
15 |
35 |
70 |
70 |
80 |
55 |
15 |
55 |
0 |
70 |
0 |
35 |
25 |
28 |
50 |
55 |
70 |
0 |
20 |
10 |
80 |
0 |
30 |
10 |
5 |
60 |
55 |
50 |
15 |
85 |
30 |
50 |
29 |
45 |
55 |
70 |
90 |
20 |
15 |
10 |
0 |
35 |
80 |
5 |
55 |
30 |
50 |
15 |
0 |
30 |
55 |
30 |
45 |
20 |
55 |
0 |
80 |
20 |
80 |
60 |
20 |
15 |
30 |
5 |
55 |
80 |
50 |
90 |
40 |
30 |