4.7. Построение перпендикуляра к плоскости, проходящего через заданною точку
Известно, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости. При построении перпендикуляра в качестве таких двух пересекающихся прямых плоскости используются линии уровня плоскости (фронтали и горизонтали). Это связано с тем, что согласно теоремы о проецировании прямого угла, именно с этими прямыми сохраняется прямой угол на плоскостях проекциях.
Пример построения перпендикуляра к плоскости, проходящего через заданною точку (рис. 59).
Рис. 59
Постановка задачи. Задана плоскость α треугольником ∆АВС и точка К. Построить перпендикуляр т к плоскости α, проходящей через точку К. Координаты точек: А(75; 50; 20), В(30; 10; 55), С(5; 30;10) и К(45; 5; 10).
Решение.
1. В плоскости α проводится горизонталь h: hα и h‖π1.
2. Используя теорему о прямом угле строится первая проекция перпендикуляра m: m1⊥h1 и К1⊂m1.
3. В плоскости α проводится фронталь f: fα и f‖π2.
4. Используя теорему о прямом угле строится вторая проекция перпендикуляра m: m2⊥f2 и К2⊂m2.
Варианты заданий приведены в табл. 9.
4.8. Построение прямой параллельной заданной плоскости
Известно, что если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.
Построение прямой параллельно заданной плоскости основывается на использовании этого утверждения и инварианта параллельности прямых.
Пример построения (рис. 60).
Постановка задачи. Задана плоскость α треугольником ∆АВС и точка М не принадлежащая этой плоскости. Координаты точек: А(75; 50; 20); В(30; 10; 55); С(5; 30;10) и М(45; 30; 30).
Построить прямую l параллельную плоскости α, проходящую через точку М.
Рис. 60
Решение.
1. В заданной плоскости α выбирают или строят прямую, которая принадлежит этой плоскости (в примере выбрана сторона АС треугольника ∆АВС).
2. Используя инвариант параллельности прямых через проекции точки M проводят проекции искомой прямой l: М1⊂l1 и l1∥A1C1; М1⊂l1 и l1∥A1C1.
Варианты заданий приведены в табл. 9.
Таблица 9
Исходные данные по темам «Перпендикулярность и параллельность прямой и плоскости»
Вариант |
Численные значения координат точек |
||||||||||||||
А |
В |
С |
К |
М |
|||||||||||
x |
y |
z |
x |
y |
z |
x |
y |
z |
x |
y |
z |
x |
y |
z |
|
1 |
10 |
30 |
10 |
60 |
60 |
35 |
45 |
15 |
65 |
70 |
50 |
20 |
65 |
10 |
40 |
2 |
75 |
5 |
35 |
10 |
35 |
50 |
40 |
55 |
10 |
40 |
50 |
25 |
10 |
30 |
40 |
3 |
70 |
15 |
30 |
15 |
30 |
60 |
50 |
60 |
10 |
10 |
40 |
60 |
65 |
15 |
30 |
4 |
35 |
50 |
40 |
70 |
25 |
5 |
5 |
10 |
30 |
45 |
60 |
20 |
65 |
30 |
10 |
5 |
65 |
25 |
5 |
5 |
10 |
35 |
35 |
50 |
45 |
70 |
45 |
10 |
10 |
50 |
30 |
6 |
70 |
35 |
10 |
15 |
55 |
30 |
45 |
5 |
50 |
15 |
40 |
20 |
10 |
40 |
40 |
7 |
75 |
30 |
5 |
10 |
50 |
35 |
40 |
10 |
55 |
50 |
25 |
10 |
15 |
55 |
25 |
8 |
10 |
25 |
10 |
70 |
5 |
35 |
45 |
50 |
55 |
40 |
30 |
25 |
50 |
25 |
10 |
9 |
40 |
60 |
50 |
5 |
35 |
10 |
75 |
15 |
30 |
10 |
20 |
40 |
40 |
25 |
25 |
10 |
60 |
35 |
10 |
10 |
5 |
35 |
40 |
50 |
55 |
65 |
30 |
30 |
10 |
20 |
40 |
11 |
45 |
65 |
50 |
65 |
30 |
5 |
15 |
10 |
30 |
65 |
30 |
10 |
70 |
5 |
35 |
12 |
70 |
35 |
50 |
15 |
10 |
30 |
40 |
55 |
5 |
10 |
40 |
30 |
45 |
40 |
10 |
13 |
75 |
30 |
60 |
45 |
50 |
15 |
10 |
10 |
35 |
10 |
40 |
50 |
35 |
15 |
30 |
14 |
70 |
35 |
10 |
15 |
55 |
30 |
45 |
5 |
50 |
15 |
20 |
20 |
10 |
40 |
20 |
15 |
75 |
30 |
5 |
10 |
50 |
35 |
40 |
10 |
55 |
50 |
25 |
40 |
35 |
50 |
30 |
продолжение табл. 9
Вариант |
Численные значения координат точек |
|||||||||||||||||||||||||||||
А |
В |
С |
К |
М |
||||||||||||||||||||||||||
x |
y |
z |
x |
y |
z |
x |
y |
z |
x |
y |
z |
x |
y |
z |
||||||||||||||||
16 |
5 |
10 |
10 |
70 |
25 |
5 |
35 |
50 |
45 |
70 |
10 |
40 |
70 |
50 |
20 |
|||||||||||||||
17 |
75 |
35 |
5 |
40 |
45 |
50 |
15 |
10 |
30 |
10 |
30 |
40 |
40 |
50 |
25 |
|||||||||||||||
18 |
60 |
35 |
10 |
10 |
5 |
35 |
40 |
50 |
55 |
65 |
15 |
30 |
10 |
40 |
60 |
|||||||||||||||
19 |
45 |
65 |
50 |
65 |
30 |
5 |
15 |
10 |
30 |
65 |
30 |
10 |
45 |
60 |
20 |
|||||||||||||||
20 |
70 |
35 |
50 |
15 |
10 |
30 |
40 |
55 |
5 |
10 |
50 |
30 |
70 |
45 |
10 |
|||||||||||||||
21 |
75 |
30 |
60 |
45 |
50 |
15 |
10 |
10 |
35 |
10 |
40 |
40 |
15 |
40 |
20 |
|||||||||||||||
22 |
70 |
35 |
10 |
15 |
55 |
30 |
45 |
5 |
50 |
15 |
55 |
25 |
50 |
25 |
10 |
|||||||||||||||
23 |
75 |
30 |
5 |
10 |
50 |
35 |
40 |
10 |
55 |
50 |
25 |
10 |
40 |
30 |
25 |
|||||||||||||||
24 |
10 |
25 |
10 |
70 |
5 |
35 |
45 |
50 |
55 |
40 |
25 |
25 |
10 |
20 |
40 |
|||||||||||||||
25 |
40 |
60 |
50 |
5 |
35 |
10 |
75 |
15 |
30 |
10 |
20 |
40 |
65 |
30 |
30 |
|||||||||||||||
26 |
65 |
15 |
35 |
45 |
50 |
55 |
10 |
35 |
5 |
70 |
5 |
35 |
65 |
30 |
10 |
|||||||||||||||
27 |
5 |
30 |
10 |
65 |
15 |
35 |
40 |
60 |
50 |
45 |
40 |
10 |
10 |
40 |
30 |
|||||||||||||||
28 |
40 |
60 |
55 |
75 |
5 |
30 |
5 |
40 |
10 |
35 |
15 |
30 |
10 |
40 |
50 |
|||||||||||||||
29 |
65 |
60 |
35 |
10 |
35 |
5 |
45 |
10 |
50 |
10 |
40 |
20 |
15 |
20 |
20 |
|||||||||||||||
30 |
70 |
50 |
25 |
45 |
10 |
55 |
10 |
30 |
15 |
35 |
50 |
30 |
50 |
25 |
40 |
|||||||||||||||